Numeros Reales

República Bolivariana de Venezuela

Ministerio del poder popular para la Educación

Universidad Nacional Experimental “Rafael María Baralt”

Bachaquero, Edo-Zulia

Integrantes:

Luisana Di Marzo; 22360172

Javier Yusti; 23478710

Esquema

• Introducción a la teoría de conjuntos

• Operaciones con conjuntos

• Propiedades de las operaciones con conjuntos

• Conjuntos numéricos N, Z y Q

• Conjunto R de los números Reales

• Operaciones en R

• Propiedades de las operaciones en R

• Intervalos

• Operaciones con intervalos

• Inecuaciones

• Inecuaciones Lineales, cuadráticas y racionales

• Valor Absoluto

Desarrollo

• Introducción a la teoría de los conjuntos

El inicio de la teoría de conjuntos se remonta al siglo XIX, fue George Cantor en este siglo, quien sentó las bases para el desarrollo de la teoría de conjuntos moderna. Con la teoría de conjuntos se inicio una revolución en las matemáticas, pues esta teoría motivó una profunda revisión de la idea de número; principalmente en lo que tiene que ver con un concepto abstracto como el del infinito. Una de las ideas básicas que justifican esta adscripción es la de que, en principio, se supone que cualquier demostración matemática se podría reducir a una deducción formal, en el sentido de la lógica, dentro de la teoría de conjuntos axiomática.

La teoría de conjuntos también se ha desarrollado como una disciplina matemática autónoma, con sus propios problemas. Quizá el ejemplo más importante sea la hipótesis del continuo, que fue formulada por Cantor y ya figuraba en la lista de los Problemas de Hilbert como el primer problema y que, a pesar de la demostración de su indecidibilidad en el marco de la teoría de conjuntos axiomática usual, sigue siendo considerada por muchos como un problema no resuelto, al cual se han dedicado grandes esfuerzos en años recientes.

• Operaciones con conjuntos

Decimos que dos conjuntos y son iguales si poseen exactamente los mismos elementos, y en este caso escribimos .

Por ejemplo es igual a , e igual a aunque aparezcan expresados en diferentes formas.

Igualmente la repetición formal de elementos iguales no quiere decir que sean conjuntos distintos (a menos que expresamente indiquemos lo contrario). Si consideramos el conjunto formado por las letras que componen la palabra ``operador", este sería , que es el mismo conjunto

Que . Observemos por tanto que con la definición dada de igualdad de conjuntos, no importa ni el orden de aparición de los elementos ni la repetición de estos.

• Propiedades de las operaciones con conjuntos

Propiedad: Unión intersección

Asociativa (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C)

Conmutativa A B = B A A B = B A

Idempotente A A = A A A =A

Absorción A (B A) = A A (A B) = A

Distributiva A (B C) = (A B) (B A) A (B C) = (A B) (A C)

Neutralidad A Ø = A A U = A

A U = U A Ø = Ø

Complementación A A l = U A A l = Ø

Ley de De Morgan (A B) l = A l B l (A B) l = A l B l

Además se cumple:

(A l) l = A, A - B = A B l, A - (B C) = (A - B) (A - C), A - (B C) = (A - B) (A - C)

• Conjuntos Numéricos

N = Conjunto de los Números Naturales

1) N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.......}

El conjunto de los Números Naturales surgió de la necesidad de contar, lo cual se manifiesta en el ser humano desde sus inicios.

Este conjunto se caracteriza porque:

Tiene un número ilimitado de elementos,

Cada elemento tiene un sucesor y todos, excepto el 1, un antecesor.

El sucesor de un número natural se obtiene sumando uno (+1); el antecesor se obtiene restando uno (-1).

N* = N0 = Conjunto de los Números Cardinales

N 0 = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,.....}

Al Conjunto de los Números Naturales se le agregó el 0 (cero) y se forma el Conjunto de los Números Cardinales.

2) Z = Conjunto de los Números Enteros

Z = { ..... –3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}

El Conjunto de los Números Enteros surge de la necesidad de dar solución general a la sustracción, pues cuando el sustraendo es mayor que el minuendo, esta sustracción no tiene solución en los Conjuntos Naturales y Cardinales (por ejemplo: 5 – 20 = ¿?). Debido a esto, la recta numérica se extiende hacia la izquierda, de modo que a cada punto que representa un número natural le corresponda un punto simétrico, situado a la izquierda del cero. Punto simétrico es aquel que está ubicado a igual distancia del cero (uno a la derecha y el otro a la izquierda de él).

Z = N* U Conjunto de los Números Enteros negativos

Z = Tiene 3 Subconjuntos:

Enteros Negativos: Z

Enteros Positivos: Z +

Enteros Positivos y el Cero: Z 0+

Por lo tanto, el Conjunto de los Números Enteros es la unión de los tres subconjuntos mencionados.

Z = Z ¯ U {0} U Z +

3) Q = Conjunto de los Números Racionales

Q = {....- ¾, - ½, - ¼ , 0, ¼ , ½, ¾,.....}

El conjunto de los Números Racionales se creó debido a las limitaciones de cálculo que se presentaban en el conjunto de los Números Naturales, Números Cardinales y Números Enteros. Por ejemplo, sólo se puede dividir en el conjunto de los Números Enteros si y sólo si el dividendo es múltiplo, distinto de cero, del divisor. Para solucionar esta dificultad, se creó este conjunto, el cual está formado por todos los números de la forma a / b. Esta fracción en la cual el numerador es a, es un número entero y el denominador b, es un número entero distinto de cero. (Ver: Fracciones)

El conjunto de los Números Racionales (Q ) se ha construido a partir del conjunto de los Números Enteros (Z).

Se expresa por comprensión como:

Q = { a / b tal que a y b Z; y b 0 }

Este conjunto se representa gráficamente, dividiendo cada intervalo de una recta numérica en espacios iguales, que representen números enteros. Cada una de estas subdivisiones representa una fracción con denominador igual al número de partes de la subdivisión.

Cada fracción es un número racional y cada número racional consta de infinitas fracciones equivalentes.

5) I = Q* = Conjunto de Números Irracionales

I = Conjunto de Números Decimales Infinitos no Periódicos

Este conjunto surgió de la necesidad de reunir a ciertos números que no pertenecen a los conjuntos anteriores; entre ellos se pueden citar a las raíces inexactas, el número Pi, etc. A él pertenecen todos los números decimales infinitos puros, es decir aquellos números que no pueden transformarse en una fracción. No deben confundirse con los números racionales, porque éstos son números decimales finitos, infinitos periódicos e infinitos semiperiódicos que sí pueden transformarse en una fracción.

Ejemplos: 1,4142135....

0,10200300004000005....

• Conjunto R de los Números Reales

Se representan con la letra .

El conjunto de los Números Reales ( ) está integrado por:

• El conjunto de los Números Racionales ( ) que corresponden a la unión de todos los números cuya expresión decimal es finita, infinita periódica o infinita semiperiódica.

• El conjunto de los Números Irracionales (I) que está formado por la unión de todos los números que admiten una expresión infinita no periódica.

Entonces, se llaman Números Reales a todos aquellos que se pueden expresar en forma decimal finita o infinita; es decir, el conjunto de los Números Reales ( ) está formado por los elementos del conjunto unido con I .

• Operaciones en R

Con números reales pueden realizarse todo tipo de operaciones básicas con dos excepciones importantes:

1. No existen raíces de orden par (cuadradas, cuartas, sextas, etc.) de números negativos en números reales, (aunque sí existen en el conjunto de los números complejos donde dichas operaciones sí están definidas).

2. La división entre cero no está definida (pues cero no posee inverso multiplicativo, es decir, no existe número

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