La Curvatura

ÍNDICE DE FIGURAS

FIGURA 1. CURVATURA……………………………………………………………………….……….....5

FIGURA 2. ESFERA…………………………………………………………………………………………...7

FIGURA 3. SUPERFICIE DE SIEVERT………………………………………………………………....7

FIGURA 4. PSEUDOESFERA…………………………………………………………………………......8

FIGURA 5. SUPERFICIE DE DINI…………………………………………………………………........8

FIGURA 6. SUPERFICIE DE KUEN…………………………………………………………….………..9

FIGURA 7. CATENOIDE………………………………………………………………………………......9

FIGURA 8.HELICOIDE…………………………………………………………………………………......9

INTRODUCCIÓN

1. Curvatura

La medida en la cual se desvía un determinado objeto geométrico se conoce como curvatura. Existen básicamente dos tipos principales de curvatura: curvatura intrínseca y extrínseca. Para los objetos que se encuentran en un espacio diferente, en este tipo de enfoque que se relaciona con la curvatura del radio del círculo que traza el objeto correspondiente, se define una curvatura extrínseca. El círculo puede ser el ejemplo más sencillo de una curvatura extrínseca dado que encada punto de la circunferencia; la curvatura es igual al recíproco del radio. La curvatura intrínseca en la naturaleza es descrita por la variedad de Riemann en cada punto.

Una curvatura en un plano pertenece a una cantidad escalar, mientras que en 2D o 3D, la identidad de la curvatura es definida como un vector en el cual tanto la nitidez como la dirección de inclinación es considerada.

Curvatura de una Recta: Un círculo de radio l/ k es formado por la recta en caso que tenga la misma curvatura en todos sus puntos.

Consideremos algunos de los casos de la siguiente fórmula:

En el caso que la curva y su correspondiente ecuación sean de la forma:

Entonces en P la segunda derivada resultará ser positiva lo cual significa que la pendiente incrementará con el recorrido de la recta transversa.

En el caso que la curva y su correspondiente ecuación sean de la forma:

Entonces en P la segunda derivada resultará ser negativa lo cual significa que la pendiente disminuirá con el recorrido de la recta transversa.

Y en el caso que la curva y su correspondiente ecuación sean de la forma:

Este gráfico representa la curvatura cero. Este es el punto de inflexión de la pendiente.

Curvatura de la Superficie: La curvatura de una superficie puede ser negativa o positiva. Sin embargo, en el caso de una curvatura positiva se forma una superficie esférica. Hay ciertos casos relacionados con la curvatura de la superficie:

Si la superficie es plana, entonces en cada punto de la superficie la curvatura resulta ser 0. Esta denota una esfera de diámetro infinito.

Al tomar parte de la esfera la cual a su vez toca el plano, con el cambio de giro de la curvatura hacia nosotros dentro de dos dimensiones, se obtiene una curvatura positiva.

De igual manera, al tomar la parte de la esfera en la cara opuesta del plano, con el cambio de giro de la curvatura hacia afuera dentro de dos dimensiones, se obtiene una curvatura negativa.

La curvatura también puede ser encontrada con la ayuda de la longitud de la cuerda así también como con la del arco. Para esto, considere dos puntos cualesquiera P y Q en la curva C y cuya longitud del arco sea s (P, Q) y la longitud del segmento de recta es d (P, Q). Entonces, en Pla curvatura de la curva C es dada por:

En lugar de s (P, Q) en el denominador, también se puede colocar (P, Q). Esta fórmula mantiene su importancia en cualquiera de las dimensiones. Una singularidad en el punto P también puede incluirse dentro de esta definición en el caso de que el límite se considere en ambos lados de forma independiente.

2. Curvaturas: extrínsecas e intrínsecas

En general, existen dos tipos importantes

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