La Division

Definición

Conceptualmente, la división describe dos nociones relacionadas aunque diferentes, la de «separar» y la de «repartir».1 2 De manera formal, la división es una operación binaria que a dos números asocia el producto del primero por el inverso del segundo. Para un número no nulo, la función «división por ese número» es el recíproco de «multiplicación por ese número». De este modo, el cociente a \ dividido b \ se interpreta como el producto \ a por \frac{1}{b} .

Si la división no es exacta, es decir, el divisor no está contenido un número exacto de veces en el dividendo, la operación tendrá un resto o residuo, donde:

\rm dividendo =

divisor \times cociente + resto

Notación

En álgebra y ciencias, la división se denota generalmente a modo de fracción, con el dividendo escrito sobre el divisor. Por ejemplo \dfrac{3}{4} se lee: tres dividido cuatro. También puede emplearse una barra oblícua: 3/4\,; este es el modo más corriente en los lenguajes de programación por computadora, puesto que puede ser fácilmente inscrito como secuencia simple del código ASCII.

Otro modo indicar una división es por medio del símbolo óbelo ( \div ) (también llamado "signo de la división"). Este símbolo también se usa para representar la operación de división en sí, como es de uso frecuente en las calculadoras. Otras variantes son los dos puntos (:) o el punto y coma (;).

Propiedades

La división no es propiamente dicho una "operación" (es decir, una ley de composición interna definida por todas partes), sus «propiedades» no tienen implicaciones estructurales sobre el conjunto de números, y deben ser comprendidas dentro del contexto de los números fraccionarios.

no-conmutativa, contraejemplo: 5 \div 3 \neq 3 \div 5 ;

no-asociativa, contraejemplo: 12 \div (4 \div 3) \neq (12 \div 4) \div 3 ;

pseudo-elemento neutro a la derecha: 1

\dfrac a1 = a;

pseudo-elemento absorbente a la izquierda: 0

\mbox{ si } b \neq 0, \dfrac 0b = 0;

fracciones equivalentes:

\dfrac ab = \dfrac cd \iff ad=bc\ .

Algoritmos para la división

Ejemplo de una división.

Hasta el el siglo XVI, fue muy común el algoritmo de la división por galera, muy similar a la división larga, y a la postre sustituido por ésta como método predilecto de división. El proceso usual de división (división larga) suele representarse bajo el diagrama:

\rm Cociente \,

\rm Divisor \,

\rm Dividendo \,

\rm Resto \,

También se usa un diagrama equivalente con la línea debajo del dividendo

\rm Divisor \,

\rm Dividendo \,

\rm \,_{(operaciones)} \, \rm Cociente \,

\rm Resto \,

Y también se usa otro diagrama equivalente

\rm Dividendo \,

\rm Divisor \,

\rm \,_{(operaciones)} \, \rm Cociente \,

\rm Resto \,

Otro método consiste en la utilización de una «tabla elemental», similar a las tablas de multiplicar, con los resultados preestablecidos.

División de números

División de números enteros

La división no es una operación cerrada, lo cual quiere decir que, en general, el resultado de dividir dos números enteros no será otro número entero, a menos que el dividendo sea un múltiplo entero del divisor.

Existen criterios de divisibilidad para números enteros (por ejemplo, todo número terminado en 0,2,4,6 u 8 será divisible entre 2), utilizados particularmente para descomponer los enteros en factores primos, lo que se usa en cálculos como el mínimo común múltiplo o el máximo común divisor.

División de números racionales

El resultado de dividir dos

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