La circunferencia

La circunferencia es el conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. La distancia entre cualquier punto de la circunferencia y el centro se llama radio. La ecuación general de una circunferencia es:

 [pic 1]

Donde A, B y C son constantes reales.

El gráfico de una circunferencia es una curva cerrada y simétrica. Para determinar el centro y el radio de una circunferencia a partir de su ecuación general, se pueden usar las siguientes fórmulas:

Centro: (-A/2, -B/2)

[pic 2]

Radio:  sqrt((A/2)^2 + (B/2)^2 - C)

[pic 3]

Una circunferencia es una figura geométrica plana que consta de todos los puntos en un plano que están a una distancia constante, llamada el radio, de un punto fijo, llamado el centro. La ecuación general de una circunferencia es (x - h)² + (y - k)² = r², donde (h, k) son las coordenadas del centro de la circunferencia y r es el radio. El gráfico de una circunferencia es un círculo perfecto. El centro del círculo está en el punto (h, k) y todos los puntos en el círculo están a una distancia r del centro. Para determinar el centro de una circunferencia a partir de su ecuación general, simplemente identifica los valores de h y k en la ecuación. Por ejemplo, si la ecuación de la circunferencia es (x - 3)² + (y + 2)² = 5, entonces el centro de la circunferencia es el punto (3, -2).

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- La elipse es el conjunto de los puntos del plano cuya suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. La distancia entre los dos focos se llama distancia focal. La ecuación general de una elipse es:

Ax^2 + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0

[pic 4]

Donde A, C, D, E y F son constantes reales y A y C tienen signos iguales y distintos de cero. El gráfico de una elipse es una curva cerrada y alargada. Para determinar los vértices, los focos y el tamaño de los semiejes de una elipse a partir de su ecuación general, se puede usar las siguientes fórmulas:

Centro: (-D/2A, -E/2C)

[pic 5]

Semi eje mayor: 2a = sqrt(4AF - D^2)/|A|

Semi eje menor: 2b = sqrt(4CF - E^2)/|C|

Distancia focal: 2c = sqrt(a^2 - b^2)

Vértices: Si A > C, los vértices están sobre el eje horizontal y son (h ± a, k), donde (h, k) es el centro. Si A < C, los vértices están sobre el eje vertical y son (h, k ± a).

Focos: Si A > C, los focos están sobre el eje horizontal y son (h ± c, k), donde (h, k) es el centro. Si A < C, los focos están sobre el eje vertical y son (h, k ± c).

- La hipérbola es el conjunto de los puntos del plano cuyo valor absoluto de la diferencia de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. La distancia entre los dos focos se llama distancia focal. La ecuación general de una hipérbola es:

Ax^2 + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0

Donde A, C, D, E y F son constantes reales y A y C tienen signos opuestos y distintos de cero. El gráfico de una hipérbola es una curva abierta y ramificada.

Para determinar los vértices, los focos y el tamaño de los semiejes de una hipérbola a partir de su ecuación general, se puede usar las siguientes fórmulas:

Centro: (-D/2A, -E/2C)

Semieje real: 2a = sqrt(4AF - D^2)/|A|

Semieje imaginario: 2b = sqrt(4CF - E^2)/|C|

Distancia focal: 2c = sqrt(a^2 + b^2)

Vértices: Si A > 0, los vértices están sobre el eje horizontal y son (h ± a, k), donde (h, k) es el centro. Si A < 0, los vértices están sobre el eje vertical y son (h, k ± a).

Focos: Si A > 0, los focos están sobre el eje horizontal y son (h ± c, k), donde (h, k) es el centro. Si A < 0, los focos están sobre el eje vertical y son (h, k ± c).

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