La definición de la matriz y sus tipos

MATRICES

Se puede definir una matriz, como un conjunto de elementos (números) ordenados en filas y columnas.

IGUALDAD DE MATRICES: Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan la misma posición en ambas son iguales.

TIPOS DE MATRICES:

-.MATRIZ FILA: Una matriz fila está constituida por una sola fila.

(2 3 -1)

-.MATRIZ COLUMNA: la matriz columnasolo tiene una sola columna . 7

10

-5

-.MATRIZ NULA: todos los elementos son ceros. 0 0

0 0

-. MATRIZ TRASPUESTA: Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas

(At)t = A

(A + B)t = At + Bt

(α •A)t = α• At

(A • B)t = Bt • At

-.MATRIZ CUADRADA: La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.

Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal.

La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1.

-.MATRIZ DIAGONAL: En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.

-.MATRIZ UNIDAD: Una matriz unidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

-.MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR: En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

-.MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR: En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.

-.MATRIZ SIMETRICA: Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica:

A = At.

-.MATRIZ ANTISIMETRICA: Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica:

A = -At.

-.MATRIZ INVERSA: El producto de una matriz por su inversa es igual al matriz identidad.

A • A-1 = A-1 • A = I

Se puede calcular la matriz inversa por dos métodos:

1º. Cálculo de la matriz inversa pòr determinantes

Ejemplo

1. Calculamos el determinante de la matriz, en el caso que el determinante sea nulo la matriz no tendrá inversa.

2. Hallamos la matriz adjunta, que es aquella en la que cada elemento se sustituye por su adjunto.

3. Calculamos la traspuesta de la matriz adjunta.

4. La matriz inversa es igual al inverso del valor de su determinante por la matriz traspuesta de la adjunta.

2º. Cálculo de la matriz inversa por el método de Gauss

Sea A una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A-1, seguiremos los siguientes pasos:

1º Construir una matriz del tipo M = (A | I), es decir, A está en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha.

Consideremos una matriz 3x3 arbitraria

La ampliamos con la matriz identidad de orden 3.

2º Utilizando el método Gauss vamos a transformar la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, que ahora está a la derecha, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A-1.

F2 - F1

F3 + F2

F2 - F3

F1 + F2

(-1) F2

La matriz inversa es:

Propiedades de la matriz inversa

(A • B)-1 = B-1 • A-1

(A-1)-1 = A

(k • A)-1 = k-1 • A-1

(A t)-1 = (A -1)t

...