DEFINICIÓN DE MATRIZ

DEFINICIÓN DE MATRIZ

Una matriz es una disposición (o “arreglo”) rectangular de números en la forma:

Las letras representan números reales, que son los elementos de la matriz. Nótese que designa al elemento en la i-ésima fila y la j-ésima columna de la matriz A; la matriz A se denota también a veces por ( ) o por { }. Una matriz que tiene m filas y n columnas se dice que es una matriz m x n (“m por n”), o bien, una matriz de orden m x n. Si m = n, se expresa que la matriz es cuadrada. Cuando han de realizarse varias operaciones en matrices, su orden suele denotarse mediante subíndices, por ejemplo, , o bien, .

EJEMPLO

Se dice que dos matrices del mismo orden son iguales solamente si todos sus elementos correspondientes son también iguales, es decir, si las matrices son idénticas. Observemos que, por definición, las matrices que son de diferente orden no pueden ser iguales.

EJEMPLO

Si

OPERACIONES CON MATRICES

Operaciones análogas a las de adición. Sustracción, multiplicación y división de números reales se pueden definir para las matrices. Puesto que una matriz es una disposición de números reales, en lugar de un solo número real, algunas propiedades de las operaciones para los números reales no tienen equivalencia en las operaciones análogas con matrices; ejemplos específicos se dan en las siguientes secciones. En esta sección se definen e ilustran la adición y la sustracción de matrices, la multiplicación de una matriz por un escalar, y la multiplicación de matrices entre sí.

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE MATRICES

Las matrices se pueden sumar o restar solamente si son del mismo orden. La suma o la diferencia de dos matrices m x n es otra matriz m x n cuyos elementos son las sumas o diferencias de los elementos correspondientes de las matrices originales; de modo que si

Entonces A ± B = C

En donde:

Es decir, , en donde para toda i y toda j.

EJEMPLO

MULTIPLICACIÓN DE MATRICES

Dos matrices se pueden multiplicar entre sí sólo si el número de columnas en una de ellas es igual al número de filas en la otra. En particular, la matriz producto AB está definida solamente si el número de columnas en A es el mismo que el número de filas en B; en este caso se dice que las matrices A y B son compatibles ante la multiplicación, y la matriz producto tiene el mismo número de filas que A y el mismo número de columnas que B. Así, una matriz m x n se puede multiplicar con una matriz n x p para obtener una matriz m x p.

DEFINICIÓN: Cuando un vector fila 1 x n multiplica a un vector columna n x 1, el resultado es un escalar al que se le denomina producto interior de los dos vectores, y su valor es la suma de los productos de los componentes de los vectores. Por lo tanto si

u = y v =

Entonces u1xn vnx1 = w (un escalar), en donde .

Cuando se multiplican dos matrices, el elemento en la i-ésima fila y en la j-ésima columna de la matriz producto, es el producto interior del i-ésimo vector fila de la primera matriz con el j-ésimo vector columna de la segunda. De acuerdo con lo anterior, el producto de dos matrices puede expresarse como una matriz de sus productos interiores: Si y , entonces AB = C, en donde

es decir, .

Ejemplo

En donde

En donde

En la multiplicación de matrices, el orden (o sucesión) según el cual se efectúa la multiplicación es muy importante. Si A es m x n y B es n x m, entonces es posible obtener las matrices producto AB, y BA; sin embargo, en general AB ≠ BA. En el producto matricial AB, se dice que A premultiplica a B, o alternativamente, que B posmultiplica a A. Como, en general, la premultiplicación y la posmultiplicación dan resultados diferentes, aun cuando ambos están definidos, se debe tener cuidado en mantener el orden apropiado en todas las multiplicaciones de matrices. Esta precaución no es necesaria en la multiplicación de números, como se recordará.

MATRIZ INSUMO-PRODUCTO

Una matriz insumo-producto (MIP) es una matriz o tabla que da la magnitud de los insumos que cada sector toma de los productos que proporciona a todos los sectores de un conjunto, incluyéndose a sí mismo. La MIP incluye usualmente la producción total y la demanda final de cada sector económico o productivo, magnitudes que pueden estar expresadas en $, en unidades de producto, o como relaciones con otras magnitudes de referencia. Permite determinar la estructura de la economía de un país, o de alguno de sus sectores productivos, así como medir la influencia que la variación en la oferta y/o demanda de un bien tiene sobre la producción de todos los demás.

Las matrices de insumo-producto, desarrollada por Wassaly Leontief, "premio Nobel de economia de 1973". Indican las interrelaciones que se dan entre la oferta y la demanda en los diferentes sectores de una economia durante algun periodo. La frase de "insumo-producto" se utiliza porque las matrices muestran los valores de los productos de cada industria que son vendidos como insumo, tanto a las industrias como a los consumidores finales.

El método input-output o también llamado análisis intersectorial

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