La integración
Enviado por hefarios • 18 de Octubre de 2013 • 1.912 Palabras (8 Páginas) • 258 Visitas
La integración
En el mundo de las Matemáticas encontramos que existen operaciones opuestas,
como la suma y la resta, el producto y el cociente, donde una deshace o anula la
otra. De la misma manera la Integración es una operación opuesta a la
Diferenciación. La relación Diferenciación – Integración es una de los
conocimientos más importantes en el mundo de las Matemáticas. Ideas
descubiertas en forma independiente por los grandes Matemáticos Leibniz y
Newton. Inicialmente Leibniz al proceso de integración lo llamo: “Calculus
Summatorius” pero en 1.696 influenciado por Johann Bernoulli, de la dinastía
Bernoulli, le cambio el nombre a Calculus Integrelis.
Gottfried Wilhelm von Leibniz1
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1 Julio de 1646 – Noviembre de 1716 HANNOVER Alemania.
Gran Filosofo, politólogo y matemático.
Precursor de la Lógica Matemática, desarrollo el Cálculo,
independiente de Newton, publicando su trabajo en 1.684,
su notación es la que se utiliza actualmente. Descubrió el
sistema binario, muy utilizado en los sistemas
informáticos. Contribuyo a la creación de la Real
Academia de Ciencias en Berlín en 1.670, siendo su
primer presidente.
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD
ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA
CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral
El cálculo ha sido una secuencia de áreas matemáticas entrelazadas, donde se
utilizan principios de Álgebra, Geometría, Trigonometría, se debe destacar que
para desarrollar el curso de Cálculo Integral, es pertinente tener claros los
principios de las áreas nombradas y además los de Cálculo Diferencial, ya que
como se dijo en el párrafo anterior, la integración es la opuesta a la diferenciación.
Lección 2: La Antiderivada
Para conceptuar la Antiderivada, comencemos por pensar que se tiene una
función, digamos f (x) , el trabajo consiste en encontrar otra función, digamos
D(x) tal que: D' (x) = f (x) . Así D(x) es una antiderivada de f(x). Identificar una
función a partir de su derivada, consiste en hallar un “dispositivo” (técnica) que nos
de todas las funciones posibles, donde f(x) es su derivada, a dichas funciones se
les llama Antiderivada de f(x). El dispositivo para éste proceso es llamado La
Integración.
Veamos un ejemplo sencillo: Sea f(x) = 2x, ¿cual será una función D(x) cuya
derivada es 2x? Con algo se astucia y conocimientos sólidos en diferenciación
podemos identificar que D(x) = x2. Veamos: Si derivamos D(x) = x2 obtenemos
f(x) = 2x.
Otro ejemplo: f(x) = cos(x), ¿cual será un D(x)? Debemos buscar una función
cuya derivada es cos(x), evidentemente es sen(x), luego D(x) = sen(x).
Para la notación de antiderivada hubo diversas propuestas, pero la del gran
Matemático Leibniz es la más utilizada universalmente. ∫...dx . Posteriormente se
analizará esta notación.
Para los ejemplos anteriores con la notación de Leibniz se tiene:
∫ x dx = x + c 2 (2 ) Para el otro: ∫ cos(x)dx = sen(x) + c
Posteriormente se aclara el concepto de la c
DEFINICIÓN No 1:
Una función D(x) es una antiderivada de la función f(x), si:
D’(x) = f(x). Para todo x en el dominio de f(x).
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD
ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA
CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100411 – Cálculo Integral
El conjunto de todas las antiderivadas de f(x) se le llama la Integral Indefinida de
f(x) y se puede escribir: ∫ f (x)dx = D(x) + c
Demostración:
Como G(x) y F(x) son antiderivadas de f(x), entonces tenemos que: G’(x) = F’(x),
por una definición previa que dice: si g’(x) = f’(x) entonces: g(x) = f(x) + c para
todo x en el intervalo I abierto. Por consiguiente: G(x) = F(x) + c, para alguna
constante c.
Ejemplo No 1:
Encontrar todas las funciones cuya derivada es f(x) = 4x3 + 2.
Solución:
Una función puede ser x4 + 2x + 5, ya que al derivarla obtenemos 4x3 + 2. Luego:
Si
f(x) = 4x3 + 2, entonces D(x) = x4 + 2x + 5, pero también puede ser D(x) = x4 + 2x +
12. En general cualquier función de la forma D(x) = x4 + 2x + C, es antiderivada de
la función f(x), siendo C una constante.
Ejemplo No 2:
Encontrar todas las funciones cuya derivada es: f(x) = sec2(x).
Solución:
Si recordamos
...