Serie de Taylor

Actividad 3. Serie de Taylor.

Fecha de entrega: 14 de octubre de 2020.

Análisis Numérico. Grupo 14.

Profesor: José Alejandro Figueroa Páez.

Alumna: Daniela Loredo Madrigal.

1. La serie infinita se utiliza para aproximar ex :

  [pic 1]

a)Muestre que la expansión en serie de Maclaurin es un caso especial de la expansión en la serie de Taylor [ecuación (4.7)] con xi = 0 y h = x. b) Use la serie de Taylor para estimar f(x) = e–x en xi+1 = 1 para xi = 0.2. Emplee versiones de cero, primero, segundo y tercer orden, y calcule |εt | para cada caso.

a)            

  [pic 2]

  [pic 3]

        [pic 4]

b) [pic 5]

[pic 6]

 [pic 7][pic 8]

[pic 9]

[pic 10]

[pic 11]

[pic 12]

[pic 13]

[pic 14]

[pic 15]

[pic 16]

1. La expansión en serie de Maclaurin para [pic 17]

 Iniciando con el primer término cos x = 1, agregue los términos uno a uno para estimar cos(π/3). Después de que agregue cada uno de los términos, calcule los errores relativos porcentuales verdaderos y aproximados. Use una calculadora para determinar el valor exacto. Agregue términos hasta que el valor absoluto del error aproximado se encuentre dentro de cierto criterio de error, considerando dos cifras significativas.

Cos(x)=1  Cos(0)=1 , Cos (3)=0.5

εt=0.5-10.5*100%=-100

Primer orden:

Cos (π/3)= 1 - (3)22 = 0.4516886444

Segundo orden:

Cos (π/3)= 1 - (3)22 + (3)44! = 0.5017962015

Tercer orden:

Cos (π/3)= 1 - (3)22 + (3)44! - (3)66! = 0.4999645653

Cuarto orden:

Cos (π/3)= 1 - (3)22 + (3)44! - (3)66! + (3)88! = 0.5000004334

Repita los cálculos del problema 4.2, pero ahora usando la expansión de la serie de Maclaurin para sen x, para evaluar el sen(π /3). [pic 18][pic 19]

[pic 20]

Error verdadero:

[pic 21]

Error relativo:

[pic 22]

PRIMER ORDEN:

[pic 23]

Error relativo:

[pic 24]

SEGUNDO ORDEN:

[pic 25]

Error relativo:

[pic 26]

Error verdadero:

[pic 27]

TERCER ORDEN:

[pic 28]

Error relativo:

[pic 29]

Error verdadero:

[pic 30]

1. La expansión de la serie de Maclaurin para la arcotangente de x se define para |x| ≤ 1

[pic 31]

a) Escriba los primeros cuatro términos (n = 0…3). b) Comenzando con la versión más simple, arctan x = x, agregue términos, uno a la vez, para estimar arctan(p/6). Después de agregar cada nuevo término, calcule los errores porcentuales relativos verdaderos y aproximados. Use su calculadora para determinar el valor exacto. Agregue términos hasta que el valor absoluto del estimado de error aproximado caiga por debajo de un criterio de error ajustado a dos cifras significativas.

a) [pic 32]

[pic 33]

Con calculadora   [pic 34]

[pic 35]

[pic 36]

[pic 37]

Hasta los 6 términos se aproxima al valor real .

1. Emplee la expansión de la serie de Taylor de cero hasta tercer orden para predecir f(3) si

f(x) = 25x3 – 6x2 + 7x – 88 usando como punto base x = 1. Calcule el error relativo porcentual verdadero et para cada aproximación.

𝑓(𝑥) = 25𝑥 3 − 6𝑥 2 + 7𝑥 − 88

𝑓(3) = 25(3) 3 − 6(3) 2 + 7(3) − 88 = 554

ORDEN CERO

𝑓(1) = 25(1) 3 − 6(1) 2 + 7(1) − 88 = −62

𝐸𝑡 = 554−(−62) 554 = 1.1119%

PRIMER ORDEN

𝑓 ′ (1) = 75𝑥 2 − 12𝑥 + 7 = 70

𝑓′(1) = 𝑓(𝑥) + 75𝑥 2 − 12𝑥 + 7

𝑓′(1) = −62 + 75(1) 2 − 12(1) + 7 = 8

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