Monologo serie de taylor

En muchas ocasiones nos vamos a encontrar con el problema de calcular el valor de una función en un punto que puede ser, o bien difícil de calcular, o bien computacionalmente costoso, o no disponer de las herramientas analíticas o numéricas para hacerlo.

En estos casos, sería de gran ayuda el disponer de una herramienta matemática que fuera capaz de “sustituir” la función que queremos calcular por un polinomio de fácil estructura y, por tanto, de cálculo más fácil.

Normalmente, en los problemas del mundo real, no necesitamos conocer todo el comportamiento de la función en todo su campo de existencia. Nos basta con conocer su comportamiento en un determinado intervalo que es en sí lo que necesitamos para su cálculo o estudio. ¿Listo?

Un ejemplo: es una nave que sigue una trayectoria compleja y conocida, para la entrada en la atmósfera terrestre, y que tiene que ver con la solución a un conjunto de ecuaciones diferenciales. Justo en el punto de entrada, punto crítico, cualquier desviación puede hacer que la nave “rebote” (y no voy a entrar en tecnicismos) y no entre en la atmósfera, según el ángulo de llegada, o que penetre muy rápidamente dando lugar a un calentamiento excesivo. Ante cualquier desviación en la llegada, los ordenadores tienen que ser capaces de corregir instantáneamente la trayectoria de entrada, y para ello es fundamental que puedan recalcular esto lo más rápido y preciso posible. Esto es más fácil y rápido con un polinomio que con la función original. Y bueno, tener en cuenta que también necesitamos conocer exactamente el error cometido en dicha sustitución para determinar si es tolerable o no. Esto también es posible calcularlo con la rapidez y la precisión necesarias para que el ángulo de entrada sea el correcto.

Bueno, entonces es aquí en donde introducimos las Series de Taylor, una serie de Taylor es una aproximación de funciones mediante una serie de potencias o suma de potencias enteras de polinomios como (x- a) a la n, llamados términos de la serie, dicha suma se calcula a partir de las derivadas de la función para un determinado valor o punto a suficientemente derivable sobre la función y un entorno sobre el cual converja la serie.

Qué es la serie de Maclaurin, es la serie de Taylor centrada sobre el punto cero, ¿listo? , a=0

Son de la forma que pueden ver ahí en pantalla.

Esta aproximación tiene tres ventajas importantes:

* la derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales;

* se puede utilizar para calcular valores aproximados de funciones;

* es posible calcular la optimidad de la aproximación.

En general, nosotros vamos a poder decir que una función es igual a su serie de Taylor. Los ejemplos icónicos son sen(x) y cos(x)

si nosotros queremos escribir a seno de x como la suma de la derivada enésima de seno evaluada en cero, entonces decimos que a es igual a cero. Dividido entre n factorial por x a la n... Me imagino que ya intuyen lo que sigue… Tenemos que hacer varias derivadas.

Seno de x evaluado en cero, es igual a cero. (((Explicar derivadas))))

Si notan, no? Si derivamos cero veces nos da seno y si se deriva 4 veces nos vuelve a dar seno, el ciclo se repite, de manera que nosotros podemos deducir que:

Si nosotros derivamos un múltiplo de 4 veces, esto es sen en cero que es cero

Si nosotros derivamos un múltiplo de 4 veces + 1, esto es coseno en cero, que es 1

Si nosotros derivamos un múltiplo de 4 + 2, esto es menos seno en cero, que es cero

Si nosotros derivamos un múltiplo de 4 + 3, esto es menos coseno en cero, que es -1

Entonces solamente nos sobreviven los que son de la forma 4n+1 y 4n+3. La serie

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