Las coordenadas polares o sistemas polares

MATEMÁTICAS

Nombre: Patricio Molina B.

Paralelo: F

Tutor: PhD. Juan Mayorga

Coordenadas Polares

Las coordenadas polares o sistemas polares son un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cada punto del plano se determina por una distancia y un ángulo, ampliamente utilizados en física y trigonometría.

De manera más precisa, se toman: un punto O del plano, al que se le llama origen o polo, y una recta dirigida (o rayo, o segmento OL) que pasa por O, llamada eje polar (equivalente al eje x del sistema cartesiano), como sistema de referencia. Con este sistema de referencia y una unidad de medida métrica (para poder asignar distancias entre cada par de puntos del plano), todo punto P del plano corresponde a un par ordenado (r, θ) donde r es la distancia de P al origen y θ es el ángulo formado entre el eje polar y la recta dirigida OP que va de O a P.

Fórmulas

Entonces así podemos denotar un par ordenado de la forma: (r,θ), esto se conoce como coordenadas polares.

Podemos deducir las siguientes fórmulas para transformar, de las diferentes formas de representar un par ordenado, a coordenadas polares.

Aplicación

Encuentre las coordenadas polares del punto. Representando el punto en el plano cartesiano, tenemos:

A un plano Polar o sistema Polar, consiste en una serie de circunferencias concéntricas al origen y rectas concurrentes al origen con diferentes ángulos de inclinación, en donde llamamos al eje horizontal, “Eje Polar”, al eje vertical “Eje π/2”, y al punto de intersección entre estos ejes, osea el punto creo en los planos cartesianos, se llama Polo.

Representación Gráfica de una coordenada Polar

Graficar (θ=π/4) .Por inspección de la ecuación dada concluimos rápidamente que el lugar geométrico es una recta, que pasa por el polo con un ángulo de π/4, Es decir:

Aplicaciones

Después de haber estudiado las coordenadas polares, deducimos que son enormemente interesantes al estudiar fenómenos relacionados con distancias y ángulos (a grandes rasgos se podría decir que interesan a la hora de estudiar conceptos relacionados con elipses y circunferencias). A continuación algunos ejemplos:

Cálculo de límites dobles: a la hora de calcular un límite doble el método que nos resulta más concreto es el método del paso a coordenadas polares. Se pasa con ellas a un límite dependiente de una única variable, (en concreto ), utilizando las ecuaciones de cambio de rectangulares a polares y se estudia si dicho límite depende del ángulo . Si no existe tal dependencia el límite inicial existe y su valor es el obtenido en el límite en polares.

Ecuaciones de curvas: las coordenadas polares simplifican la expresión de las ecuaciones de ciertas curvas. Por ejemplo, la circunferencia de centro y radio tiene a como ecuación en coordenadas rectangulares y a como ecuación en polares.

Por lo cual sabemos que expresar los números complejos en su forma polar simplifica mucho ciertas operaciones, como son la multiplicación, la división y el cálculo de raíces -ésimas.

Cálculo de integrales dobles: cuando la región de integración de una integral doble es una circunferencia o una elipse (o parte de alguna de ellas) pasar a coordenadas

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