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Índice

Introducción 1

Objetivo 2

Hipótesis 2

Definición 3

Ondas sinusoidales 3

Teoría simplificada para creadores de ondas en aguas poco profundas 5

Teoría completa de ondas planas producidas por una paleta. 6

Ecuación de movimiento para la boya 11

Fuerza hidrodinámica sobre la boya 11

Teoría de las ondas lineales 12

o Deducción de la velocidad potencial y el campo de velocidad vertical en la generación de ondas regulares. 12

o Campo de velocidad 13

o Energía y velocidad conjunta 14

Energía y potencia en circuitos eléctricos 19

Desarrollo del experimento 20

Procedimiento de cálculo 22

Memoria de cálculo 23

Conclusiones 26

Recomendaciones 26

Bibliografía 27

Introducción

La naturaleza ofrece diferentes tipos de energía, depende del hombre el manejo y la utilización de ella. Es interesante como se puede aprovechar esta energía, en este caso la energía que se puede generar a través de las ondas del agua; y es llamada energía mareomotriz.

En MEXICO la demanda de energía es más grande que la generada por las presas hidroeléctricas y otros mecanismos de generación; y es necesario pensar en crear nuevas formas de generar energía eléctrica y saber utilizar los medios necesarios para aprovechar al máximo la energía presente en la naturaleza.

En nuestro experimento utilizamos un modelo de energía mareomotriz para generar una fuente de energía electromotriz a través de herramientas sencillas y modelamientos matemáticos para el cálculo aproximado de la energía aprovechable.

Objetivo

Calcular la relación de la potencia eléctrica que genera la boya contra la potencia que genera la energía producidas por las olas.

Hipótesis

“La energía mareomotriz es una alternativa viable para la generación de la energía eléctrica”

Definición

El concepto de onda es abstracto. Cuando observamos lo que llamamos a una onda de agua, lo que vemos es la modificación de la superficie del agua. Sin el agua, no habría onda. Una onda viajando sobre un cable no existiría sin el cable. Las ondas del sonido podrían no viajar a través del aire si no hubieran moléculas de aire.

Con ondas mecánicas, lo que podemos interpretar como una onda corresponde a la propagación de una perturbación a través de un medio.

Ondas sinusoidales

La onda representa por la curva en la figura 1 es llamada sinusoidal porque la curva es la misma que la descrita por la función sin⁡θgraficada contra θ. La onda senosoidal es el ejemplo más simple de una onda continua y periódica, y que puede ser usada para construir ondas más complejas.

En t = 0, la función que describe la posición de las partículas del medio a través del cual las ondas sinusoidales están viajando, puede ser escrita como:

y=A sin⁡(2π/λ x)

Donde la constante A representa la amplitud de onda y la constante λ es la longitud de onda. Así, vemos que la posición de la partícula del medio es la misma cada vez que x es incrementada por una integral múltiple de λ. Si el movimiento de las ondas es hacia la derecha con una velocidad v, entonces la función de la onda en un instante t más tarde es: y=A sin⁡[2π/λ(x-vt)]

Ese es, el trayecto sinusoidal del movimiento de ondas hacia la derecha a una distancia vt in el tiempo t, como se mostró en la figura 1.

La función tiene la forma f(x-vt) y representa una onda viajando hacia la derecha. Si la onda estuviera viajando hacia la izquierda, la cantidad x-vt sería reemplazada por x+vt.

Por definición, las ondas viajan una distancia de una longitud de onda en un periodo T. Por lo tanto, la velocidad de onda, la longitud de onda y el periodo están relacionados por la expresión

v=λ/T

Sustituyendo esta expresión en la ecuación que expresa la altura de la onda encontramos que

y=A sin⁡[2π(x/λ-t/T)]

Esta forma de la función de onda claramente muestra la naturaleza periódica de y. En algún dado tiempo t (una fotografía instantánea de la onda), “y” tiene el mismo valor en las posiciones x,x+λ,x+2λ, etc. Es más, en alguna dada posición x, el valor de y es el mismo en los tiempos t,t+T,t+2T, etc.

Podemos expresar la función de onda en una forma conveniente definiendo otras dos cantidades, el número de onda angular k y la frecuencia angular ω:

k=2π/λ ω=2π/T

Usando esta expresiones, se puede escribir la ecuación de y en una forma más compacta

y=A sin(kx-ωt)

La frecuencia de una onda sinusoidal está relacionada con el período por la expresión

f=1/T

La unidad más común para la frecuencia es el 〖segundo〗^(-1), o el hertz (Hz). La unidad correspondiente para T es el segundo.

La función de onda dada asume que el desplazamiento vertical y es cero en x=0 y t=0. Este no necesariamente es el caso. Sino, generalmente se expresa la función de onda en la forma

y=A sin(kx-ωt+ϕ)

Donde ϕ es la constante de fase. Esta constante puede ser determinada desde las condiciones iniciales.

Teoría simplificada para creadores de ondas en aguas poco profundas

En aguas poco profundas, una simple teoría para la generación de ondas por creadores de ondas fue propuesta por Galvin (1964), quien razonó que el agua desplazada por el creador de ondas debería ser igual al volumen de la cresta de la forma de la onda propagándose.

Por ejemplo, consideremos un pistón creador de ondas con una brazada S la cual es una constante sobre una profundidad h. El volumen de agua desplazada sobre una brazada completa es Sh, como se observa en la siguiente figura:

El volumen de agua en una cresta de onda es ∫_0^(L/2)▒〖(H⁄2)sin⁡kx dx〗=H⁄k . Igualando los dos volúmenes,

Sh=H/k=H/2 (L/2) 2/π

En el cual el factor 2/π representa la proporción del área sombreada al área del rectángulo que la encierra. Esta ecuación puede ser expresada como

(H/S)_piston=kh

Donde H/S es la proporción de la altura respecto a la brazada. Esta relación es valida en regiones de aguas poco profundas, kh<π/10. Para una tabla creadora de ondas, que pivotea en el fondo, el volumen del agua desplazada por esta será menor por un facto de 2.

(H/S)_tabla=kh/2

Estas dos relaciones están mostradas por las líneas rectas dibujadas en la figura 3.

Teoría completa de ondas planas producidas por una paleta.

El problema del valor límite para el creador de ondas en un tanque de ondas viene directamente del problema del valor límite para ondas en dos dimensiones propagándose en un fluido irrotacional e incompresible. Para la geometría descrita en la figura 2, la ecuación que gobierna para la velocidad potencial es la ecuación de Laplace,

∂ϕ/(∂x^2 )+∂ϕ/(∂z^2 )=0

Las formas linealizadas de las condiciones límite de la superficie libre dinámica y cinemática son las mismas que antes

η=1/g ∂ϕ/∂t, z=0

-∂ϕ/∂z=∂η/∂t, z=0

Las únicas condiciones que cambian son las condiciones limite laterales. En la dirección x positiva, como x se extiende, requerimos que las ondas estén aparentemente propagándose, imponiendo la condición de radiación límite (Somerfeld, 1964). En x=0, una condición cinemática debe ser satisfecha sobre el creador de ondas. Si S(z) es la brazada del creador de onda, su desplazamiento horizontal esta descrito como

x=(S(z))/2 sin⁡σt

Donde σ es la frecuencia del generador de onda.

La función que describe la superficie del generador de ondas es

F(x,z,t)=x-(S(z))/2 sin⁡σt=0

La condición límite cinemática general es

u∙n=-(∂F(x,z,t)/∂t)/|∇F| ; F(x,z,t)=0

Donde u=ui+wk y n=∇F/|∇F|. Sustituyendo por la proporción F(x,z,t)

u-w/2 (dS(z))/dz sin⁡σt=(S(z))/2 σ cos⁡σt; F(x,z,t)=0

Por tanto, la condición límite lateral final es

u(0,z,t)=(S(z))/2 σ cos⁡σt

Ahora que el problema del valor límite esta especificado, todas las posibles soluciones para la ecuación de Laplace son examinadas como posibles soluciones para determinar esas que satisfacen la condición límite.

Se presenta la siguiente formula de velocidad potencial en forma general que satisface la condición límite del fondo

ϕ(x,z,t)=A_p cosh⁡〖k_p (h+z)〗 sin⁡(k_p x-σt)+(Ax+B)+Ce^(-k_p x) cos⁡〖k_s (h+z)〗 cos⁡σt

El subíndice en k indica que esa parte de ϕ esta asociada con una onda progresiva o estacionaria. Para los problemas de generadores de onda, A debe ser cero, como no hay un posible flujo a través del generador de onda y B puede ser cero sin afectar el campo de velocidad.

La forma final para el problema de valor límite esta propuesta como

ϕ=A_p cosh⁡〖k_p (h+z)〗 sin⁡(k_p x-σt)+∑_(n=1)^∞▒〖C_n e^(-k_p (n)x) cos⁡[k_s (n)(h+z)] cos⁡σt 〗

Otra vez, el primer termino representa una onda progresiva, hecha por el generador de onda, mientras la segunda serie de ondas son estacionarias las cuales decaen fuera del

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