MATEMATICAS

GRDEFINICIÓN

Llamamos proporcionalidad de segmentos a la aplicación existente entre el conjunto de cantidades de longitud en sí mismo, de tal forma que la aplicación sea biyectiva, conserve el orden, la igual y además mantenga la correspondencia con la operación de la suma.

Teorema fundamental de proporcionalidad:

Dadas dos rectas r y s que se cortan en el punto O y dadas dos longitudes a y b sobre cada una de las rectas respectivamente de tal forma que determinan los segmentos OA=a y el OB=b, como podemos observar en la imagen. Trazando la recta que une los puntos A y B y rectas una recta paralela a esta que corta a las rectas r y s en el punto X y X’ respectivamente, entonces al segmento OX se le hace corresponder el segmento OX’.

Por tanto se cumple la siguiente razón de proporcionalidad:

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS. TEOREMA DE THALES.

1. Teorema de Thales.

Segmentos proporcionales entre paralelas.

Observa que las rectas paralelas a, b, c y d cortan a las dos rectas secantes r y t.

Considera los segmentos AB y CD de la recta r. Se observa que CD = 2 · AB.

¿Qué relacion hay entre los segmentos correspondientes A’B’ y C’D’?

Observa que C’D’ es también doble de A’B’:

C’D’ = 2 · A’B’.

Observa también que con estos segmentos se puede escribir esta proporción:

CD / C’D’ = (2 · AB) / (2 · A’B’) = A’B’ / AB.

Esta proporcionalidad existente entre todos los segmentos de la recta r y sus correspondientes de la recta t:

AB / A'B' = AC / A'C' = BC / B'C'=CD / C'D'=k.

Si varias paralelas son cortadas por dos rectas secantes, los segmentos que determinan en una de las secantes son proporcionales a los segmentos que determinan en la otra secante.

1.2. División de un segmento en partes iguales.

Vamos a dividir el segmento AB en tres segmentos iguales.

1. Para ello se traza una semirrecta cualquiera con origen en A que forme con el seg¬mento AB un ángulo menor de 180º.

2. Se elige un segmento u arbitrario se lleva sobre la semirrecta que antes hemos trazado tres veces y el punto P, correspon¬diente a la última división, se une con el punto B.

3. Finalmente se trazan paralelas a PB por los puntos de división M y N y se obtienen los puntos M' y N', que dividen el segmento AB en tres partes iguales.

1.3. Segmento cuarto proporcional.

Dados tres segmentos a, b y c se llama segmento cuarto proporcional de a, b y c a otro segmento x que cumple la siguiente proporción:

a / b = c / x.

Observa los segmentos a, b y c. Numéricamente podemos calcular el cuarto proporcional de la siguiente manera:

a / b = c / x; 5 / 4 = 2,5 / x; 5·x = 4 · 2,5; 5x = 10; x = 10 / 5 = 2. El cuarto proporcional es 2.

Observa cómo se determina gráficamente el segmento cuarto proporcional.

1. Se trazan dos semirrectas de origen O y sobre ellas se llevan los segmentos a, b y c como indica la figura.

2. Se unen los extremos no comunes P y Q de a y b y por el extremo M de c se traza una paralela a PQ; el segmento QN = x es el segmento buscado.

1.4. Segmento tercero proporcional.

Dados dos segmentos a y b, se llama segmento tercero proporcional de a y b a otro segmento x que cumple la siguiente proporción:

a / b = b / x.

Observa los segmentos a y b. Numéricamente podemos calcular el tercero proporcional de la siguiente manera:

a / b = b / x; 1 / 2 = 2 / x; x = 4. El tercero proporcional es 4 cm.

La construcción gráfica del tercero

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