MODELACIÓN DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA

1.3 MODELACIÓN DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA

Para la introducción del lector en la disciplina de la investigación de operaciones y en particular en lo referente a la programación matemática, el primer paso es la correcta redacción de un problema de optimización. En los cursos de cálculo de una y varias variables, el lector probablemente se haya encontrado con problemas de optimización, que comúnmente solo son llamados problemas de máximos y mínimos. Estos problemas suelen presentarse como una aplicación de las derivadas en el caso de funciones de una variable, y de las derivadas parciales en el caso de funciones de 2 o más variables. Veamos uno de estos problemas.

Considere lo siguiente: Sean 𝑚 y 𝑛 enteros positivos. Encuentre dos números no negativos cuya suma sea 𝑆 de modo que el producto de la m-ésima potencia de uno y la n-ésima potencia del otro sea máximo.

Intentemos describir matemáticamente este problema. Primero es necesario especificar la cantidad de variables que necesitaremos y el significado de cada una de ellas. En este caso se nos pide encontrar dos números con determinadas características, tal que el producto de ambos números bajo ciertos requisitos sea máximo. Entonces sean 𝑥 e 𝑦 las variables que representan a estos dos números. La característica de ambos es que son números no-negativos; y el requisito que se solicita, es que la suma de ambos números sea una cantidad constante, es decir: 𝑥 + 𝑦 = 𝑆.

Independientemente del valor de 𝑆, existen una infinidad de números que cumplen este requisito; por ejemplo, si 𝑆 = 10, algunos pares de numeros que satisfacen el requisito son (2,8), (5,5) o (6.65, 3.35), y en general para cualquier 0 ≤ 𝑥 ≤ 10, se tendrá que 𝑦 = 10 − 𝑥. Sin embargo, solo uno de ellos cumple con el objetivo del problema: que el producto de la

𝑚-ésima potencia de x con la 𝑛-ésima potencia de y sea máximo.

En un problema de Programación Matemática, el objetivo o propósito del problema debe ser representado por una función llamada función objetivo. Los requisitos sobre las variables que utilizaremos y el cómo se relacionan entre ellas, es representado por un conjunto de restricciones. La unión de las características del conjunto de variables y el conjunto de restricciones describen el dominio de la función objetivo.

Con lo anterior, nuestro problema queda descrito como un problema de programación matemática, en la siguiente forma:

Maximizar 𝑥𝑚𝑦𝑛

Sujeto a: 𝑥 + 𝑦 = 𝑆

𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0

En resumen, si queremos expresar un problema de optimización correctamente como un problema de programación

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