Modelacion matemática

1. ¿Qué es la modelación matemática?

La modelación matemática es un área de la ciencia que se encarga de expresar fenómenos de la vida real en forma matemática y así poder usar las herramientas que tenemos de matemáticas para obtener una solución al problema.

Este método se aplica en aquellas situaciones donde el estudio o análisis del objeto cognitivo es inviable, resulta muy costoso o demasiado riesgoso..

La aplicación de la modelación matemática consiste en el reemplazo del objeto cognitivo por su imagen matemática (modelo matemático) la cual, implementada en algoritmos lógico – numéricos en un ordenador, permite estudiar las cualidades del proceso original. Este método de cognición conjuga las ventajas de la teoría y del experimento.

2. ¿Cuáles son las etapas de la modelación matemática?

En muchos casos la construcción o creación de modelos matemáticos útiles sigue una serie de fases bien determinadas:

1.Identificación de un problema o situación compleja que necesita ser simulada, optimizada o controlada y por tanto requeriría un modelo matemático predictivo.

2.Elección del tipo de modelo, esto requiere precisar qué tipo de respuesta u output pretende obtenerse, cuales son los datos de entrada o factores relevantes, y para qué pretende usarse el modelo. Esta elección debe ser suficientemente simple como para permitir un tratamiento matemático asequible con los recursos disponibles. Esta fase requiere además identificar el mayor número de datos fidedignos, rotular y clasificar las incógnitas (variables independientes y dependientes) y establecer consideraciones, físicas, químicas, geométricas, etc. que representen adecuadamente el fenómeno en estudio.

3.Formalización del modelo en la que se detallarán qué forma tienen los datos de entrada, qué tipo de herramienta matemática se usará, como se adaptan a la información previa existente. También podría incluir la confección de algoritmos, ensamblaje de archivos informáticos, etc, etc. En esta fase posiblemente se introduzcan también simplificaciones suficientes para que el problema matemático de modelización sea tratable computacionalmente.

4.Comparación de resultados los resultados obtenidos como predicciones necesitan ser comparados con los hechos observados para ver si el modelo está prediciendo bien. Si los resultados no se ajustan bien, frecuentemente se vuelve a la fase 1.

3. Presenta dos ejemplos para responder ¿Es importante la modelación matemática en la vida real?

Por ejemplo: un modelo macroeconómico. Con ecuaciones matemáticas, se trata de explicar, predecir y calcular el empleo, las exportaciones, el producto nacional.

Otro ejemplo, más clásico, es un modelo físico: se trata de construir ecuaciones que reflejen, por ejemplo, la trayectoria de una nave que viaja a la luna desde la tierra, mediante un modelo matemático

Por supuesto que es importante permite crear un modelo (una simplificación de la realidad tomando solamente los elementos más relevantes) que mediante ecuaciones, trate de replicar lo que pasa en una situación o fenómenos determinado.

Los principales problemas que se enfrentan al modelar son aquellos en los que el modelo es muy complicado debido a que en la vida real existen muchos factores que influyen en el fenómenos a estudiar y es imposible considerarlos todos; y tambien que no siempre la solución del modelo nos da buenos resultados en la vida real.

Ejemplos

Un modelo mixto operacional estadístico es una teoría o situación causal de hechos y expresado con símbolos de formato matemático. Por ejemplo las tablas de contingencia. De hecho los modelos matemáticos se construyen con varios niveles de significación y con diferentes variables.

Kendall y Buckland catalogan hasta 40 tipos diferentes de modelos matemáticos. Ejemplos: Rapoport en modelo matemático e interacción social en 1961 y Bugeda en Sociología matemática en 1970. Por un principio de isomorfismo hay una equivalencia, a conseguir, entre un modelo y una teoría. Además teoría y modelo son sinónimos.

Ejemplos de modelos por tipos]

Descriptivos / Simulación Optimización / Elección Control / Tratamiento

Determinista Probabilista Determinista Probabilista Determinista Probabilista

Cuantitativo /

Numérico Cálculos

astronómicos Simulaciones

de tráfico Cálculo componentes

de sistemas Diseño ingenieril Control

automático ?

Cualitativo /

Conceptual Análisis

microeconómicos Teoría de

juegos Modelos

de grafo/flujo ? Teoría

psicológica ?

Modelo de petróleo refinado [W3]

Una compañía representa a tres refinerías de petróleo. Llamémoslas Refinería 1, Refinería 2 y

Refinería 3. Cada refinería produce tres productos basados en el crudo: Alquitrán, Gasóleo y

Gasolina.

Supongamos que, de un barril de petróleo, se sabe que:

• la primera refinería produce 4 litros de alquitrán, 2 de gasóleo, y 1 de gasolina.

• la segunda refinería produce 2 litros de alquitrán, 5 de gasóleo y 2.5 de gasolina

• y la tercera refinería produce 2 litros de alquitrán, 2 de gasóleo y 5 de gasolina.

Supongamos que hay una demanda de estos productos de la siguiente manera:

• 600 litros de alquitrán.

• 800 litros de gasóleo.

• 1000 litros de gasolina.

¿Cuántos barriles de crudo necesitará cada refinería para satisfacer la demanda?

El enunciado se puede representar de la siguiente forma:

Refinería 1 Refinería 2 Refinería 3

Alquitrán 4 2 2

A= Gasóleo 2 5 2

Gasolina 1 2.5 5

Cada columna de A representa un vector con la producción de una refinería.

Cada fila de A representa un vector con las cantidades de un producto en particular producido por las diferentes refinerías.

Por ejemplo:

La producción de la refinería 3 viene reflejada en el vector:

2

2

5

La producción de gasolina viene reflejada en el vector:

(1 2.5 5)

Sea xi el número de barriles de petróleo crudo necesarios en la refinería i.

Según esto, el número de barriles de crudo necesarios para satisfacer esta demanda por las tres

refinerías deben satisfacer el sistema de ecuaciones lineales siguiente:

4x1 + 2x2 + 2x3 600

2x1 + 5x2 + 2x3 800

1x1 + 2.5 x2 + 5x3 1000

Matricialmente, podemos expresar así el sistema anterior:

4 2 2 X1 600

2 5 2 X2 = 800

1 2.5 5 X3 1000

Utilizando la función rref nos devuelve una matriz que representa la forma reducida de la matriz dada.

Para ello introducimos la matriz ampliada, i.e., con coeficientes y términos independientes:

4 2 2 600

A= 2 5 2 800

1 2.5 5 1000

1 0 0 31.25

rref(A)= 0 1 0 87.5

0 0 1 150

O bien podríamos calcularla directamente:

4 2 2 600 1 0 0 31.25

Rref 2 5 2 800 = 0 1 0 87.5

1 2.5 5 1000 0 0 1 150

Llegamos a la solución del modelo.

x1 = 31.25

x2 = 87.5

x3 = 150

La Refinería 1 necesitará 31.25 barriles de crudo.

La Refinería 2 necesitará 87.5 barriles de crudo.

La Refinería 3 necesitará 150 barriles de crudo.

Si ahora quisiéramos saber cuánto debe producir cada refinería de cada producto para satisfacer la

demanda, tan sólo tendríamos que repartir proporcionalmente la cantidad de los barriles hallados

anteriormente.

Refinería 1:

4 125

2 * 31.25= 62.5

1 31.25

Refinería 2:

2 175

5 * 87.5 = 437.5

2.5 218.75

Refinería 3:

2 300

2 * 150 = 300

5 750

Con lo que llegaríamos a la siguiente conclusión:

Para satisfacer la demanda:

• la Refinería 1 debería producir: 125 litros de alquitrán; 62,5 litros de gasóleo y 31,25 litros de

gasolina.

• la Refinería 2 debería producir: 175 litros de alquitrán; 437,5 litros de gasóleo y 218,75 litros

de gasolina.

• la Refinería 3 debería producir: 300 litros de alquitrán; 300 litros de gasóleo y 750 litros de

gasolina.

O lo que es lo mismo:

• los 600 litros de alquitrán serán producidos así: 125 por la Refinería 1; 175 por la Refinería 2 y

300 por la Refinería 3.

• los 800 litros de gasóleo serán producidos así: 62,5 por la Refinería 1; 437,5 por la Refinería 2 y

300 por la Refinería 3.

• los 1000 litros de gasolina serán producidos así: 31,25 por la Refinería 1; 218,75 por la Refinería

2 y 750 por la Refinería 3.

BIBLIOGRAFIA:

Ríos, Sixto (1995). Modelización. Alianza Universidad. ISBN 978-84-206-2822-6.

TEMA 3 Matrices y Determinantes Curso Matematica Superior.

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