MOMENTO DE UN PAR

MOMENTO

Considere una fuerza F que actúa sobre un cuerpo (figura 3.12a) .Como se sabe, la fuerza F está representada por un vector que define la magnitud y su dirección. Sin embargo, el efecto de la fuerza sobre el cuerpo rígido también depende de su punto de aplicación A. La posición de A puede definirse de manera conveniente por medio del vector r que une al punto de referencia fijo O con A; a este vector se le conoce como el vector de posición de A.* El vector de posición r y la fuerza F definen el plano mostrado en la figura 3.12a. El momento de F con respecto a O se define como el producto vectorial de r y F:

El momento M0 debe ser perpendicular al plano que contiene el punto O y a la fuerza F. El sentido de M0 está definido por el sentido de la rotación que haría al vector r colineal con el vector F; un observador localizado en el extremo de M0 ve a esta rotación como una rotación en sentido contrario al movimiento de las manecillas de reloj.

Por último, representado con  el ángulo entre las líneas de acción del vector de posición r y la fuerza F, se encuentra que la magnitud del momento de F con respecto a O está dada por

Donde d representa la distancia perpendicular desde O hasta la línea de acción de F.

MOMENTO DE UN PAR

Se dice que dos fuerzas F y — F que tienen la misma magnitud, líneas de acción paralelas y sentidos opuestos forman un par (figura 3.30). Obviamente, la suma de las componentes de las dos fuerzas en cualquier dirección es igual a cero. Sin embargo, la suma de los momentos de las dos fuerzas con respecto a un punto dado no es cero. Aunque las dos fuerzas no originarán una traslación del cuerpo sobre el que están actuando, éstas sí tenderán a hacerlo rotar.

Al representar con rA y rB, respectivamente, a los vectores de posición de los puntos de aplicación de F y —F (figura 3.31), se encuentra que la suma de los momentos de las dos fuerzas con respecto a O es

rA X F + rK X (—F) = (r4 - rB) x F

Si se define rA — rB = r, donde r es el vector que une los puntos de aplicación de las dos fuerzas, se concluye que la suma de los momentos de F y — F, con respecto a O, está representado por el vector

El vector M se conoce como el momento del par; se trata de un vector perpendicular al plano que contiene las dos fuerzas y su magnitud está dada por

donde d es la distancia perpendicular entre las líneas de acción de F y — F.

MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN EJE DADO

Considérese nuevamente la fuerza F que actúa sobre un cuerpo rígido y el momento M0 de dicha fuerza con respecto a O (figura 3.27). Sea OL un eje a través de O; el momento MOL de F con respecto a OL se define como la proyección OC del momento M0 sobre el eje OL. Representando al vector unitario a lo largo de OL como A. y recordando, de las secciones 3.9 y 3.6, respectivamente, las expresiones (3.36) y (3.11) obtenidas para la proyección de un vector sobre un eje dado y para el momento M0 de una fuerza F, se escribe

lo cual demuestra que el momento M0L de F con respecto al eje OL es el escalar que se obtiene formando el producto triple escalar de A, r y F.

A partir de la definición del momento de una fuerza con respecto a un eje, se concluye que el momento de F con respecto a un eje coordenado es igual a la componente de M0 a lo largo de dicho eje.

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