Manual de técnicas de integración

Manual de técnicas de integración

Las técnicas de integración buscan reducir la integral a una integral conocida y o inmediata, que se pueda resolver con el formulario o bien obteniendo una integral más sencilla.

Cambio de variable

Permite reconocer cuando un integrando es el resultado de una derivada en el que se ha usado la regla de la cadena

[pic 1]

En f(x) se debe identificar u y a u’

Integración por partes

Permite resolver integrales que se pueden expresar como un producto de una función por la derivada de otra. Se requiere que, u y v sean funciones continuas, derivables y sus derivadas du y dv son integrables.

[pic 2]

[pic 3]

[pic 4]

Integración de funciones racionales

Permite integrar funciones de la forma: [pic 5]

Casos

1. El grado de P(x) es mayor o igual que el grado de Q(x)

1. Se divide P(x) entre Q(x)

[pic 6]

1. Para resolver  se pasa al paso b[pic 7]

1. El grado de P(x) es menor que el grado de Q(x)

1. Q(x) tiene todas sus raíces reales y distintas.

[pic 8]

[pic 9]

[pic 10]

1. Q(x) tiene todas sus raíces reales, pero puede haber repetidas

[pic 11]

Como el caso anterior se debe resolver integrales del tipo:  con n > 1 se puede aplicar cambio de variable.[pic 12]

1. Q(x) tiene raíces complejas

Cuando al factorizar el polinomio Q(x) aparecen factores cuadráticos de la forma

[pic 13]

A cada uno de estos factores le corresponde una fracción parcial

[pic 14]

1. Q(x) tiene raíces complejas repetidas

[pic 15]

[pic 16]

Integración de funciones trigonométricas

1. Funciones racionales con funciones trigonométricas

Si tenemos una función racional de senos y cosenos de la forma  , la integral se reduce a una función racional de “t” con cambio de variable.[pic 17]

1. Función racional con sen x y cos x impar en sen x es decir se aplica el cambio cos x  = t[pic 18]
2. Función racional con sen x y cos x impar en cos x es decir se aplica el cambio sen x  = t[pic 19]
3. Función racional con sen x y cos x par en sen x  y cos x es decir se aplica el cambio [pic 20]

[pic 21]

1. En cualquier caso, se puede aplicar el cambio siguiente

[pic 22]

1. Integrales que contienen funciones trigonométricas

1. Potencias de senos y cosenos

[pic 23]

Si n es impar: n = 2k + 1 se factoriza de la forma.

[pic 24]

Utilizamos la identidad [pic 25][pic 26]

                        Realizar el cambio de variable

                        Para seno u = cos x; Para coseno u = sen x

Si n es par: n = 2k factorizar el integrando

[pic 27]

[pic 28]

Usar las identidades trigonométricas

[pic 29]

[pic 30]

1. Productos de potencias de senos y cosenos

[pic 31]

        Si m y n son pares, utilizamos las identidades

        [pic 32][pic 33]

        Si m o n es impar, utilizamos la identidad

[pic 34]

1. Productos de potencias de tangentes y secantes

[pic 35]

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