Matematica

CURVAS SPLINE Y SUPERFISIES

OBJETIVOS

I. Introductorio

Un spline es una curva definida a trozos mediante polinomios, es decir una banda flexible que se utiliza para producir una curva suave que pasa por unos puntos concretos. Así el término curva con spline una función creada por tramos de polinomios cúbicos, cuya primera y segunda derivadas son continuas en las diferentes partes de la curva.

En Computación Gráfica, una spline es comúnmente referida como una curva compuesta de secciones poligonales satisfaciendo ciertas condiciones de continuidad entre ellas. Una superficie con splines se puede describir con dos conjuntos de curvas ortogonales con splines.

Los splines se utilizan para diseñar formas de curvas y de superficies, para digitalizar dibujos y para especificar trayectorias de animación de objetos o la posición de la cámara en una escena. Estos son utilizables para el diseño de edificios, automóviles o aviones, las formas finales de los objetos se modelaban a tamaño real (o casi real) donde las curvas se representaban usando splines, largas tiras de plástico o metal moldeadas por pesos ubicados en posiciones específicas. Matemáticamente, estas curvas pueden ser descritas por la unión de secciones de poligonales cúbicas cuyas primera y segunda derivadas son continuas entre cada sección de la curva.

Al estar compuesta por varias partes de polinomios cúbicos, la suavidad de una spline puede especificarse imponiendo condiciones de continuidad entre secciones.

 Splines de interpolación y de aproximación.

En los problemas de interpolación y de aproximación, se utiliza a menudo para la construcción de superficies de interpolación porque da lugar a resultados similares requiriendo solamente el uso de polinomios de bajo grado a la vez que se evitan las oscilaciones, que en la mayoría de las aplicaciones resultan indeseables, que aparecen al interpolar mediante polinomios de grado elevado.

Una spline es descrita por un conjunto de puntos llamados puntos de control. Cuando la spline contiene todos los puntos de control se dice que la curva interpola los puntos. Cuando lo anterior no es cierto, se dice que la curva aproxima los puntos. Mientras que el primer tipo de spline es particularmente útil en procesos de digitalización de datos y especificación de trayectos para animación, el segundo es principalmente usado en herramientas de diseño para estructurar superficies de objetos.

Siendo así que los métodos de interpolación se utilizan habitualmente para digitalizar dibujos o para especificar trayectorias de animación. Los métodos de aproximación se utilizan fundamentalmente como herramientas de diseño para crear formas de objetos.

II. FUNDAMENTO TEORICO

 Superficies Cuadráticas

Una superficie cuadrática es la gráfica de una ecuación de segundo grado con tres variables x, y, z .

Elipsoide: Tiene ecuación

Es simétrico con respecto a cada uno de los tres planos coordenados y tiene intersección con los ejes coordenados en (a, 0, 0), (0, b, 0) y (0, 0, c). La traza del elipsoide sobre cada uno de los planos coordenados es un único punto o una elipse.

Paraboloide elíptico: Tiene ecuación

Sus trazas sobre planos horizontales z = k son elipses:

Sus trazas sobre planos verticales, ya sean x = k o y = k son parábolas.

Paraboloide hiperbólico: Tiene ecuación

Sus trazas sobre planos horizontales z = k son hipérbolas o dos rectas (z = 0). Sus trazas sobre planos verticales paralelos al plano x son parábolas que abren hacia abajo, mientras que las trazas sobre planos verticales paralelos al plano YZ son parábolas que abren hacia arriba. Su gráfica tiene la forma de una silla de montar.

Cono elíptico: Tiene ecuación

Sus trazas sobre planos horizontales z = k son elipses.

Sus trazas sobre planos verticales corresponden a hipérbolas o un par de rectas.

Hiperboloide de una hoja: Tiene ecuación

Sus trazas sobre planos horizontales z = k son elipses:

Sus trazas sobre planos verticales son hipérbolas o un par de rectas que se intersectan.

Hiperboloide de dos hojas: Tiene ecuación

Es una superficie con dos hojas (o mantos) separadas.

Sus trazas sobre planos horizontales z = k son elipses y sobre planos verticales son hipérbolas.

 Representaciones de "Spline"

Un spline es una curva diferenciable definida en porciones mediante polinomios. Para el ajuste de curvas, los splines se utilizan para aproximar formas complicadas. La simplicidad de la representación y la facilidad de cómputo de los splines los hacen populares para la representación de curvas en informática, particularmente en el terreno de los gráficos por ordenador.

 Curvas B-spline

Son los más utilizados en la práctica:

1. b-splines cuadráticos:fuentes True Type

2. b-splines cúbicos:los más comunes en programas de diseño gráfico.

En general, no pasan

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