Matematica

CURVAS SPLINE Y SUPERFISIES

OBJETIVOS

I. Introductorio

Un spline es una curva definida a trozos mediante polinomios, es decir una banda flexible que se utiliza para producir una curva suave que pasa por unos puntos concretos. Así el término curva con spline una función creada por tramos de polinomios cúbicos, cuya primera y segunda derivadas son continuas en las diferentes partes de la curva.

En Computación Gráfica, una spline es comúnmente referida como una curva compuesta de secciones poligonales satisfaciendo ciertas condiciones de continuidad entre ellas. Una superficie con splines se puede describir con dos conjuntos de curvas ortogonales con splines.

Los splines se utilizan para diseñar formas de curvas y de superficies, para digitalizar dibujos y para especificar trayectorias de animación de objetos o la posición de la cámara en una escena. Estos son utilizables para el diseño de edificios, automóviles o aviones, las formas finales de los objetos se modelaban a tamaño real (o casi real) donde las curvas se representaban usando splines, largas tiras de plástico o metal moldeadas por pesos ubicados en posiciones específicas. Matemáticamente, estas curvas pueden ser descritas por la unión de secciones de poligonales cúbicas cuyas primera y segunda derivadas son continuas entre cada sección de la curva.

Al estar compuesta por varias partes de polinomios cúbicos, la suavidad de una spline puede especificarse imponiendo condiciones de continuidad entre secciones.

 Splines de interpolación y de aproximación.

En los problemas de interpolación y de aproximación, se utiliza a menudo para la construcción de superficies de interpolación porque da lugar a resultados similares requiriendo solamente el uso de polinomios de bajo grado a la vez que se evitan las oscilaciones, que en la mayoría de las aplicaciones resultan indeseables, que aparecen al interpolar mediante polinomios de grado elevado.

Una spline es descrita por un conjunto de puntos llamados puntos de control. Cuando la spline contiene todos los puntos de control se dice que la curva interpola los puntos. Cuando lo anterior no es cierto, se dice que la curva aproxima los puntos. Mientras que el primer tipo de spline es particularmente útil en procesos de digitalización de datos y especificación de trayectos para animación, el segundo es principalmente usado en herramientas de diseño para estructurar superficies de objetos.

Siendo así que los métodos de interpolación se utilizan habitualmente para digitalizar dibujos o para especificar trayectorias de animación. Los métodos de aproximación se utilizan fundamentalmente como herramientas de diseño para crear formas de objetos.

II. FUNDAMENTO TEORICO

 Superficies Cuadráticas

Una superficie cuadrática es la gráfica de una ecuación de segundo grado con tres variables x, y, z .

Elipsoide: Tiene ecuación

Es simétrico con respecto a cada uno de los tres planos coordenados y tiene intersección con los ejes coordenados en (a, 0, 0), (0, b, 0) y (0, 0, c). La traza del elipsoide sobre cada uno de los planos coordenados es un único punto o una elipse.

Paraboloide elíptico: Tiene ecuación

Sus trazas sobre planos horizontales z = k son elipses:

Sus trazas sobre planos verticales, ya sean x = k o y = k son parábolas.

Paraboloide hiperbólico: Tiene ecuación

Sus trazas sobre planos horizontales z = k son hipérbolas o dos rectas (z = 0). Sus trazas sobre planos verticales paralelos al plano x son parábolas que abren hacia abajo, mientras que las trazas sobre planos verticales paralelos al plano YZ son parábolas que abren hacia arriba. Su gráfica tiene la forma de una silla de montar.

Cono elíptico: Tiene ecuación

Sus trazas sobre planos horizontales z = k son elipses.

Sus trazas sobre planos verticales corresponden a hipérbolas o un par de rectas.

Hiperboloide de una hoja: Tiene ecuación

Sus trazas sobre planos horizontales z = k son elipses:

Sus trazas sobre planos verticales son hipérbolas o un par de rectas que se intersectan.

Hiperboloide de dos hojas: Tiene ecuación

Es una superficie con dos hojas (o mantos) separadas.

Sus trazas sobre planos horizontales z = k son elipses y sobre planos verticales son hipérbolas.

 Representaciones de "Spline"

Un spline es una curva diferenciable definida en porciones mediante polinomios. Para el ajuste de curvas, los splines se utilizan para aproximar formas complicadas. La simplicidad de la representación y la facilidad de cómputo de los splines los hacen populares para la representación de curvas en informática, particularmente en el terreno de los gráficos por ordenador.

 Curvas B-spline

Son los más utilizados en la práctica:

1. b-splines cuadráticos:fuentes True Type

2. b-splines cúbicos:los más comunes en programas de diseño gráfico.

En general, no pasan por ningún punto de control (ni siquiera los extremos), aunque se puede forzar que lo hagan.

principales ventajas sobre las curvas de Bezier:

1. Es de grado acotado ( aun definida por n puntos).

2. Sobre todo , mas apropiadas para el diseño interactivo: mas "suaves",control local.

Dado un conjunto de puntos P0,..., Pn, obtenemos una curva de aproximación compuesta por varios tramos, y las ecuaciones de cada tramo están influenciadas solamente por k vértices del polígono de control siendo k (orden de la B-Spline) un parámetro elegido a voluntad por el diseñador y, lógicamente, k ≤ n + 1:

Los parámetros que intervienen en una curva B-Spline se enumeran a continuación:

• P0,..., Pn, n+1 vértices o puntos de control.

• Ni,k: funciones B-Spline básica de orden k.

• d: grado de las B-Spline básicas (elección usual, d=3).

• k: orden de la B-Spline: k = d+1.

• Nº de tramos: n-d+1..

• Suavidad global de la curva: Ck-2 = Cd-1.

Propiedades

• No interpolan (salvo en P0, Pn, si así se especifica).

• Paramétricas P(t) = (x(t), y(t)).

• Suavidad Ck-2: k es el orden de la B-spline.

• No oscilan.

• Locales.

• Difíciles de calcular salvo casos especiales con fórmula matricial: B-Spline uniformes, Bézier.

• Mayor flexibilidad: elección de nodos permite más tipos de curvas.

 3.3.5 Curvas y Superficies de Bézier

Pierre Bezier, ingeniero francés desarrollo este método de aproximación de spline para utilizarlo en el diseño de carrocerías de las automóviles Renault. Las spline de Bezier tienen varias propiedades que hacen que sean muy útiles y convenientes para el diseño de curvas y superficies.Asimismo, es fácil implementarla.Por estos motivos,las spline de Bezier están disponibles en forma común en varios sistemas de CAD, en paquetes generales de gráficas y en paquetes seleccionados de dibujo y pintura.

Curvas de Bezier

En general,es posible ajustar una curva de Bezier para cualquier numero de puntos de control.El numero de puntos de control que se debe aproximar y su posición relativa determinan el grado del polinomio de Bezier.

La idea de definir geométricamente las formas no es demasiado compleja: un punto del plano puede definirse por coordenadas. Por ejemplo, un punto A tiene unas coordenadas (x1, y1) y a un punto B le corresponde (x2,y2). Para trazar una recta entre ambos basta con conocer su posición.

Si en lugar de unir dos puntos con una recta se unen con una curva, surgen los elementos esenciales de una curva Bézier: los puntos se denominan puntos de anclaje o nodos. La forma de la curva se define por unos puntos invisibles en el dibujo, denominados puntos de control, manejadores o manecillas.

Curvas Lineales (Grado 1)

• Sólo dos puntos de control ( P0 y P1).

• Son líneas rectas.

• Podemos recorrer la curva con un parámetro t є [0,1] que recorre la recta de P0 a P1.

La curva viene dada por la expresión:

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