Matematica

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR

FACULTAD DE CIENCIAS QUIMICAS

CUADERNO DE EJERCICIOS

TEMA: LOGICA MATEMÁTICA

5. Probar mediante deducción natural:

1. p ^ q,r ` q ^ r

2. p, ::(q ^ r) ` ::p ^ r

3. :p ^ q, :p ^ q ^ r :p ` r :p

4. p, p ^ q, p ^ (q r) ` r

5. p `(q ^ r), p, :r ` :q

6. :p ^ q, :q ` p

7. p ^ q ` :q `p

8. :q ^ :p ` p ! ::q

9. ` p ^ p

6. Probar mediante deducción natural:

1. (E _ F) ! G ` (E ! G) ^ (F ! G)

2. ` (E ! (F ^ G)) ! (E ! F) _ (E ! G)

3. fp ! r,r ! :qg j= :(p ^ q)

4. p _ q, :q _ r ` p _ r

5. ` (p ! q) ! ((:p ! q) ! q)

6. (p _ (q ! p)) ^ q ` p

7. :(p ^ :q) ` p ! q

8. (p ! q) ^ (p ! r) j= p ! (q ^ r)

9. (p1 ! p2) ^ (q1 ! q2) ` (p1 ^ q1 ! p2 ^ q2)

10. :(:p _ :q) ` p ^ q

a. ` ((p ! q) _ (p ! r)) ! (p ! q _ r)

11. ((:p _ :q) ! (:p ^ r)) ` :q _ (p _ r)

12. p ^ :(q ! r) ` (p ^ q) ^ :r

13. ` ((p ! (q ^ :r)) ! p) ! p

14. ` (p ! :q) ^ (p ! :r) ! (p ! :(q _ r))

7. Sea F la fórmula

((p _ q) $ :(p _ q)) _ (((:p _ q) ! :((q ^ r) ! :p)) ^ (r ! :(q _ p)))

Decidir, mediante tablero semántico, si F es satisfacible. En el caso de que lo sea, calcular

un modelo v de F a partir del tablero y comprobar que v es modelo de F

8. Resuelva mediante tablas

1. (:p _ q) ^ (:q _ p).

2. (:p _ q) ^ (q ! p).

3. (:p ^ q) _ (:q ^ p).

4. (:p ^ q) _ (q ! p)

9._ Decidir, mediante forma normal conjuntiva, si las siguientes fórmulas son

tautotologías. En el caso de de que no lo sean calcular sus contramodelos a partir de su

FNC.

1. :(p ^ (q ! r)).

2. (p ! q) _ (q ! p).

3. (p $ q) ! r. 10._ Sea A la fórmula proposicional p ^ q $ :p _ r.

1. Escribir un tablero completo para A y otro para :A.

2. Describir todos los modelos y todos los contramodelos de la fórmula A. 11._ Usando tablas demostrar:

1. ( p’ )’ ⇔ p

2. p ∧ p’ ⇔ F

3. p ∨ p’ ⇔ V

4. p ∨ V ⇔ V

5. p ∧ V ⇔ p

6. p ∨ F ⇔ p

7. p ∧ F ⇔ F

12._ Utilizando esas definiciones y las leyes de lógica matemática, demostrar las siguientes

tautologías:

1. p → q ⇔ q’ → p’

2. ( p → q )’ ⇔ p ∧ q’

3. p → ( q ∧ q’ ) ⇔ p’

4. ( q ∨ q’ ) → p ⇔ p

5. ( p ∧ q ) → r ⇔ p → ( q → r )

13._ Escribir la reciproca y la contrarrecıproca de cada una de las afirmaciones siguientes:

1. Si llueve, no voy.

2. Me quedare, solo si tu te vas.

3. Si tienes cien pesetas, entonces puedes comprar un helado.

4. No puedo completar la respuesta si no me ayudas.

14._Establecer si las siguientes proposiciones son tautologías o contingencias

1. (p −→ q) ∧ (q −→ p)

2. [p ∧ (q ∨ r)] −→ [(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)]

3. (p ∨ ¬q) −→ q

4. p −→ (p ∨ q)

5. (p ∧ q) −→ p

6. [(p ∧ q) ←→ p] −→ (p ←→ q)

7. [(p −→ q) ∨ (r −→ s)] −→ [(p ∨ r) −→ (q ∨ s)]

15._ 1.1. Determinar el valor (verdadero o falso) de las siguientes proposiciones:

1. 11 es entero y √

2. 3 es irracional.

3. π es complejo y −2 es natural.

4. √

5. 5 es racional o π es complejo.

6. 2

7. 3

8. es complejo y 2

9. 3

10. es racional.

11. 1 + i es real o 1 + i es entero.

12. 2

13. 5

14. es complejo o 7

15. 3

16. es real.

17. Si i es real entonces √

18. 2 es natural.

19. Si todo complejo es real entonces √

20. 5 es entero.

21. Si √

22. 2 es complejo entonces no es real.

23. i es real si, y s´olo si, π es entero.

24. Todo real es complejo si, y s´olo si, todo complejo es real.

16._Demostrar:

1. : [ (p Λ q) ν (~ p Λ r) ν (q Λ r) ] ↔ [ (p Λ q) ν (~ p Λ r)]

2. (p ν ~ q) Λ (q ν r) Λ (q ν ~ r) ↔ (p Λ q)

3. ~ [(p Λ ~ q Λ r) ν (p Λ q Λ r)] ↔ (~ p ν ~ r)

17._Demostrar mediante tablas

1. ( p’ )’ ⇔ p

2. p ∧ p’ ⇔ F

3. p ∨ p’ ⇔ V

4. p ∨ V ⇔ V

5. p ∧ V ⇔ p

6. p ∨ F ⇔ p

7. p ∧ F ⇔ F

8. p ∧ ( p ∨ q ) ⇔ p

9. p ∨ ( p ∧ q ) ⇔ p

10. ( p ∧ q )’ ⇔ p’ ∨ q’

18._

19._

20._

21._Expresar en simbología lo siguiente

Sea el siguiente enunciado “Si no pago la luz, entonces me cortarán la corriente eléctrica. Y Si pago la luz, entonces me quedaré sin dinero o pediré prestado. Y Si me quedo sin dinero y pido prestado, entonces no podré pagar la deuda, si solo si soy desorganizado”

Donde:

p: Pago la luz.

q: Me cortarán la corriente eléctrica.

r: Me quedaré sin dinero.

s: Pediré prestado.

t: Pagar la deuda.

w: soy desorganizado.

22._ Simboliza las siguientes proposiciones:

1. No vi la película, pero leí la novela

2. Ni vi la película ni leí la novela

3. No es cierto que viese la película y leyese la novela

4. Vi la película aunque no leí la novela

5. No me gusta trasnochar ni madrugar

6. O tu estás equivocado o es falsa la noticia que has leído

7. Si no estuvieras loca, no habrías venido aquí

8. Llueve y o bien nieva o sopla el viento

9. O está lloviendo y nevando o está soplando el viento

10. Si hay verdadera democracia, entonces no hay detenciones arbitrarias ni otras violaciones de los derechos civiles:

11. Roberto hará el doctorado cuando y solamente cuando obtenga la licenciatura:

12. Si viene en tren, llegará antes de las seis. Si viene en coche, llegará antes de las seis. Luego, tanto si viene en tren como si viene en coche, llegará antes de las seis:

23._ Simboliza:

1. Si p, entonces q

2. No es el caso que p y q

3. p solamente si q y no-r

4. p o no-q

5. Si p y q, entonces no-r o s

6. Si p, entonces q, y si q, entonces p

7. Si p y q, entonces r. p. Luego si q, entonces r

8. Si p y q, entonces r. Si r y s, entonces t. Luego si p y q y s, entonces t

24._ Formaliza las siguientes proposiciones:

1. No es cierto que no me guste bailar

2. Me gusta bailar y leer libros de ciencia ficción. c. Si los gatos de mi hermana no soltaran tanto pelo me gustaría acariciarlos.

3. Si y sólo si viera un marciano con mis propios ojos, creería que hay vida extraterrestre

4. Una de dos: o salgo a dar un paseo, o me pongo a estudiar como un energúmeno.

5. Si los elefantes volaran o supieran tocar el acordeón, pensaría que estoy como una regadera y dejaría que me internaran en un psiquiátrico.

6. Prefiero ir de vacaciones o estar sin hacer nada si tengo tiempo para ello y no tengo que ir a trabajar.

25._ Formaliza las siguientes proposiciones:

“Si tuvieran que justificarse ciertos hechos por su enorme tradición entonces, si

estos hechos son inofensivos y respetan a todo ser viviente y al medio ambiente, no

habría ningún problema. Pero si los hechos son bárbaros o no respetuosos con los

seres vivientes o el medio ambiente, entonces habría que dejar de justificarlos o no

podríamos considerarnos dignos de nuestro tiempo.”

p: justificar hechos por su tradición.

q: ser inofensivo.

r: ser respetuoso con los seres vivos.

s: ser respetuoso con el medio ambiente.

t: tener problemas.

¬q: ser bárbaro. (= no ser inofensivo)

u: ser digno de nuestro tiempo.

26._ 14. Formaliza el siguiente enunciado. ¿Cuántas variables tiene la tabla? ¿Es una

tautología?

“Si un animal fabuloso se enfada, te quedas paralizado del susto; y si te quedas

paralizado del susto, entonces no puedes sino apelar a su bondad y así no ser engullido.

Por lo tanto, si un animal fabuloso se enfada, tendrás que apelar a su bondad o serás

engullido.”

p = se enfada un animal fabuloso

q = quedarse paralizado del susto Filosofía y Ciudadanía – Lógica proposicional [Ejercicios resueltos] 8

r = apelar a su bondad

s = ser engullido

28._ Formaliza el siguiente argumento.

Todo número entero o es primo o es compuesto.

Si es compuesto, es un producto de factores primos, y si es un producto de factores primos,

Entonces es divisible por ellos.

Pero si un número entero es primo, no es compuesto, aunque es divisible por sí mismo y por

la unidad, y consiguientemente, también divisible por números primos.

Por tanto, todo número entero es divisible por números primos.

p = ser primo.

q = ser compuesto.

r = producto de factores primos.

s = ser divisible por factores primos.

t = ser divisible por sí mismo.

u = ser divisible por la unidad.

29._ 18. Halla las tablas de verdad de los siguientes argumentos.

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