Matematica

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR

FACULTAD DE CIENCIAS QUIMICAS

CUADERNO DE EJERCICIOS

TEMA: LOGICA MATEMÁTICA

5. Probar mediante deducción natural:

1. p ^ q,r ` q ^ r

2. p, ::(q ^ r) ` ::p ^ r

3. :p ^ q, :p ^ q ^ r :p ` r :p

4. p, p ^ q, p ^ (q r) ` r

5. p `(q ^ r), p, :r ` :q

6. :p ^ q, :q ` p

7. p ^ q ` :q `p

8. :q ^ :p ` p ! ::q

9. ` p ^ p

6. Probar mediante deducción natural:

1. (E _ F) ! G ` (E ! G) ^ (F ! G)

2. ` (E ! (F ^ G)) ! (E ! F) _ (E ! G)

3. fp ! r,r ! :qg j= :(p ^ q)

4. p _ q, :q _ r ` p _ r

5. ` (p ! q) ! ((:p ! q) ! q)

6. (p _ (q ! p)) ^ q ` p

7. :(p ^ :q) ` p ! q

8. (p ! q) ^ (p ! r) j= p ! (q ^ r)

9. (p1 ! p2) ^ (q1 ! q2) ` (p1 ^ q1 ! p2 ^ q2)

10. :(:p _ :q) ` p ^ q

a. ` ((p ! q) _ (p ! r)) ! (p ! q _ r)

11. ((:p _ :q) ! (:p ^ r)) ` :q _ (p _ r)

12. p ^ :(q ! r) ` (p ^ q) ^ :r

13. ` ((p ! (q ^ :r)) ! p) ! p

14. ` (p ! :q) ^ (p ! :r) ! (p ! :(q _ r))

7. Sea F la fórmula

((p _ q) $ :(p _ q)) _ (((:p _ q) ! :((q ^ r) ! :p)) ^ (r ! :(q _ p)))

Decidir, mediante tablero semántico, si F es satisfacible. En el caso de que lo sea, calcular

un modelo v de F a partir del tablero y comprobar que v es modelo de F

8. Resuelva mediante tablas

1. (:p _ q) ^ (:q _ p).

2. (:p _ q) ^ (q ! p).

3. (:p ^ q) _ (:q ^ p).

4. (:p ^ q) _ (q ! p)

9._ Decidir, mediante forma normal conjuntiva, si las siguientes fórmulas son

tautotologías. En el caso de de que no lo sean calcular sus contramodelos a partir de su

FNC.

1. :(p ^ (q ! r)).

2. (p ! q) _ (q ! p).

3. (p $ q) ! r. 10._ Sea A la fórmula proposicional p ^ q $ :p _ r.

1. Escribir un tablero completo para A y otro para :A.

2. Describir todos los modelos y todos los contramodelos de la fórmula A. 11._ Usando tablas demostrar:

1. ( p’ )’ ⇔ p

2. p ∧ p’ ⇔ F

3. p ∨ p’ ⇔ V

4. p ∨ V ⇔ V

5. p ∧ V ⇔ p

6. p ∨ F ⇔ p

7. p ∧ F ⇔ F

12._ Utilizando esas definiciones y las leyes de lógica matemática, demostrar las siguientes

tautologías:

1. p → q ⇔ q’ → p’

2. ( p → q )’ ⇔ p ∧ q’

3. p → ( q ∧ q’ ) ⇔ p’

4. ( q ∨ q’ ) → p ⇔ p

5. ( p ∧ q ) → r ⇔ p → ( q → r )

13._ Escribir la reciproca y la contrarrecıproca de cada una de las afirmaciones siguientes:

1. Si llueve, no voy.

2. Me quedare, solo si tu te vas.

3. Si tienes cien pesetas, entonces puedes comprar un helado.

4. No puedo completar la respuesta si no me ayudas.

14._Establecer si las siguientes proposiciones son tautologías o contingencias

1. (p −→ q) ∧ (q −→ p)

2. [p ∧ (q ∨ r)] −→ [(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)]

3. (p ∨ ¬q) −→ q

4. p −→ (p ∨ q)

5. (p ∧ q) −→ p

6. [(p ∧ q) ←→ p] −→ (p ←→ q)

7. [(p −→ q) ∨ (r −→ s)] −→ [(p ∨ r) −→ (q ∨ s)]

15._ 1.1. Determinar el valor (verdadero o falso) de las siguientes proposiciones:

1. 11 es entero y √

2. 3 es irracional.

3. π es complejo y −2 es natural.

4. √

5. 5 es racional o π es complejo.

6. 2

7. 3

8. es complejo y 2

9. 3

10. es racional.

11. 1 + i es real o 1 + i es entero.

12. 2

13. 5

14. es complejo o 7

15. 3

16. es real.

17. Si i es real entonces √

18. 2 es natural.

19. Si todo complejo es real entonces √

20. 5 es entero.

21. Si √

22. 2 es complejo entonces no

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