Matematica

Fracciones

El concepto matemático de fracción corresponde a la idea intuitiva de dividir una totalidad en partes iguales, como cuando hablamos, por ejemplo, de un cuarto de hora, de la mitad de un pastel, o de las dos terceras partes de un depósito de gasolina. Tres cuartos de hora no son, evidentemente, la misma cosa que las tres cuartas partes de un pastel, pero se “calculan” de la misma manera: dividiendo la totalidad (una hora, o el pastel) en cuatro partes iguales y tomando luego tres de esas partes. Por esta razón, en ambos casos, se habla de dividir dicha unidad (una hora, un pastel, etc.) en 4 partes iguales y tomar luego 3 de dichas partes.

Una fracción se representa matemáticamente por números que están escritos uno sobre otro y que se hallan separados por una línea recta horizontal llamada raya fraccionaria.

La fracción está formada por dos términos: el numerador y el denominador. El numerador es el número que está sobre la raya fraccionaria y el denominador es el que está bajo la raya fraccionaria.

TÉRMINOS DE UNA FRACCIÓN

a Numerador

— -

b Denominador

El Numerador indica el número de partes iguales que se han tomado o considerado de un entero. El Denominador indica el número de partes iguales en que se ha dividido un entero.

Por ejemplo, la fracción 3 / 4 (se lee tres cuartos) tiene como numerador al 3 y como denominador al 4. El 3 significa que se han considerado 3 partes de un total de 4 partes en que se dividió el entero o el todo.

La fracción 1 / 7 (se lee un séptimo) tiene como numerador al 1 y como denominador al 7. El numerador indica que se ha considerado 1 parte de un total de 7 (el denominador indica que el entero se dividió en 7 partes iguales).

Propiedades de Fracciones

Suma:

1. Conmutativa

Porque 3/4 +1/2 = 1/2+3/4

2. Asociativa

Porque 3/4 + (1/2+1/4)= (3/4 + 1/2) +1/4

3. Distributiva

Porque 1/2 (1/3+3/4) = 1/2(1/3) + 1/2(3/4)

4. Elemento neutro = 0/a

Porque 1/2 +0/2 = ½

Resta:

1. Distributiva

Porque 1/2 (1/3-3/4) = 1/2(1/3) - 1/2(3/4)

2. Elemento neutro = 0/a

Porque 1/2 -0/2 = ½

Multiplicación:

1. Conmutativa

Porque (3/4) (1/2) = (1/2)(3/4)

2. Asociativa

Porque 3/4 [(1/2)(1/4)]= [(3/4)(1/2)] (1/4)

3. Elemento neutro = 1/1

Porque 1/2 +1/1 = ½

4. Inverso multiplicativo = b/a

Porque (a/b) (b/a) =1

División:

1. Elemento neutro = 1

Porque 1/2 / 1 = 1/2

Ejemplos

Hay 8 partes de las cuales se han pintado 5, por lo tanto, la fracción que representa matemáticamente este dibujo es 5 / 8 (se lee cinco octavos).

Hay 3 partes pintadas de un total de 5. Esto se representa como 3 / 5 (se lee tres quintos)

Debes tener presente que existen distintas posibilidades para representar gráficamente una fracción, es decir, se puede representar con distintos dibujos; lo importante es tener siempre presente el concepto de fracción.

Por ejemplo, la fracción 5 / 8, que ya vimos arriba, está representada a continuación de otras dos formas distintas:

Hay 5 partes pintadas de un total de 8 partes. Esto se representa como 5 / 8 (se lee cinco octavos)

Hay 5 partes pintadas de un total de 8 partes. Esto se representa como 5 / 8 (se lee cinco octavos)

Hay 1 parte pintada de un total de 2 partes. Esto se representa como 1 / 2 (se lee un medio)

Producto notable

Sabemos que se llama producto al resultado de una multiplicación. También sabemos que los valores que se multiplican se llaman factores.

Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente y que es preciso saber factorizarlas a simple vista; es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso.

Se les llama productos notables (también productos especiales) precisamente porque son muy utilizados en los ejercicios.

A continuación veremos algunas expresiones algebraicas y del lado derecho de la igualdad se muestra la forma de factorizarlas (mostrada como un producto notable).

Cuadrado de la suma de dos cantidades o binomio cuadrado

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, más el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad.

Demostración:

Son aquellos productos que se rigen por reglas fijas y cuyo resultado puede hallarse por simple inspección. Su denominados también "Identidades Algebraicas" Son

aquellos productos cuyo desarrollo es clásico y por esto se le reconoce fácilmente. Las más importantes son:

1. Binomio de Suma al Cuadrado

( a + b )2 = a2 + 2ab + b2

2. Binomio Diferencia al Cuadrado

( a - b )2 = a2 - 2ab + b2

3. Diferencia de Cuadrados

( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2

4. Binomio Suma al Cubo

( a + b )3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3

= a3 + b3 + 3 ab (a + b)

5. Binomio Diferencia al Cubo

( a - b )3 = a3 - 3 a2b + 3 ab2 - b3

6. Suma de dos Cubos

a3 + b3 = ( a + b ) ( a2 – ab + b2)

7. Diferencia de Cubos

a3 - b3 = ( a - b ) ( a2 + ab + b2)

8. Trinomio Suma al Cuadrado ó Cuadrado de un Trinomio

( a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac

= a2 + b2 + c2 + 2 ( ab + bc + ac)

9. Trinomio Suma al Cubo

( a + b + c)3 = a3 + b3 + c + 3(a + b) . (b +c) . (a + c)

10. Identidades de Legendre

( a + b)2 + ( a – b)2 = 2 a2 2b2 = 2(a2+ b2)

( a + b)2 + ( a – b)2 = 4 ab

11. Producto de dos binomios que tienen un término común

( x + a)(x + b) = x2 + ( a + b) x + ab

Polinomio

El polinomio es una clase de expresión algebraica entera, en la cual existe una o más variables o indeterminadas, que no actúan como divisor, ni están afectadas por operaciones de radicación. Existen distintos tipos de polinomios: monomio (un término), binomio (dos términos), trinomio (tres términos), y cuatrinomio (cuatro términos).

Un polinomio es una combinación de números (llamados coeficientes) y letras (representan las variables o indeterminadas), unidas por medio de operaciones matemáticas, como suma, resta, multiplicación y división. También las operaciones de potenciación y radicación tienen lugar en los polinomios, pero éstas últimas nunca están afectando a la variable, sino a los coeficientes.

La suma y la resta de polinomios sólo pueden realizarse entre términos de igual variable y exponente, es decir, términos semejantes.

En los términos cuyo coeficiente es distinto de cero (es decir, no es nulo), el grado del polinomio es el mayor exponente que posee la indeterminada o variable. El coeficiente principal es el número que afecta a la variable de mayor exponente.

Se dice que un polinomio está ordenado si sus términos (separados por suma o resta) se organizan, en relación a los exponentes de las indeterminadas, de manera creciente o decreciente. Se considera que un polinomio está completo si posee todas las potencias de una variable, decrecientes del mayor exponente o grado; si el polinomio no está completo, se puede completarlo, sumándole los términos con los exponentes necesarios (incluyendo el término que no tiene variable, “término de grado cero”, si es que no lo tiene), y para no alterar el valor del polinomio, el coeficiente de los términos agregados deberá ser cero

Propiedades de Polinomio

El polinomio pA(t) es mónico (su coeficiente dominante es 1) y de grado n. El hecho más importante sobre el polinomio característico ya fue mencionado en el parágrafo de motivación: los valores propios de A son precisamente las raíces de pA(t). El coeficiente constante pA(0) es igual a (−1)n veces el determinante de A, y el coeficiente de t n − 1 es igual a -tr(A), la traza de A. Para una matriz A de 2×2, el polinomio característico se puede expresar como: t 2 − tr(A)t + det(A).

Todos los polinomios reales de grado impar tienen al menos un número real como raíz, así que para todo n impar, toda matriz real tiene al menos un valor propio real. La mayoría de los polinomios reales de grado par no tienen raíces reales, pero el teorema fundamental del álgebra dice que todo polinomio de grado n tiene n raíces complejas, contadas con sus multiplicidades. Las raíces no reales de polinomios reales, por tanto valores propios no reales, aparecen en pares conjugados.

El teorema de Cayley-Hamilton dice que si reemplazamos t por A en la expresión de pA(t) obtenemos la matriz nula: pA(A) = 0. Es decir, toda matriz satisface su propio polinomio característico. Como consecuencia de este hecho, se puede demostrar que el polinomio mínimo de A divide el polinomio característico de A.

Dos matrices semejantes tienen el mismo polinomio característico. El recíproco no es cierto en general: dos matrices con el mismo polinomio característico no tienen por qué ser semejantes.

La matriz A y su transpuesta tienen

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