Matematicas. FUNCIONES LOGARITMICAS

FUNCIONES LOGARITMICAS

OBJETIVOS

1. Evaluar funciones logarítmicas
2. Graficar funciones logarítmicas
3. Resolver ecuaciones logarítmicas
4. Construir y resolver modelos matemáticos con funciones logarítmicas
5. Aplicar el modelo logístico

1. DEFINICIONES Y PROPIEDADES

Definición 6.2.  A la inversa de la función exponencial  , se le llama función logarítmica de base b y se denota por .  La expresión  se lee “logaritmo base  de x”.[pic 1][pic 2][pic 3][pic 4]

Definición 6.3  El logaritmo común de un número real  es  y se escribe usualmente como .  El logaritmo natural de un número real  es  y se escribe usualmente como .[pic 5][pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10]

Teorema 2.  Propiedades de las funciones logarítmicas.  

Suponga que [pic 11]

• El dominio de es  y el rango de  es [pic 12][pic 13][pic 14][pic 15]
•  está en el gráfico de  y    es una asíntota vertical de la gráfica de .[pic 16][pic 17][pic 18][pic 19]
• es una función una-a-una sin esquinas o vértices.[pic 20]
•  sí y sólo sí .  Esto es,  es el exponente que usted pone a b para obtener c.[pic 21][pic 22][pic 23]
•   para toda    y    para todo [pic 24][pic 25][pic 26][pic 27]

[pic 28][pic 29]

[pic 30]

        [pic 31]

Definición de Logaritmo Común

     para toda [pic 39][pic 40]

Definición de Logaritmo Natural

     para toda [pic 41][pic 42]

EJERCICIOS 1:   Cambie a la forma logarítmica

1.    [pic 43]
2.                        Solución  →       [pic 44][pic 45]
3.            Solución  →        [pic 46][pic 47]
4.              Solución  →        [pic 48][pic 49]
5.                    Solución   →        [pic 50][pic 51]
6.       [pic 52]
7.    [pic 53]

EJERCICIOS 2  Cambie a la forma exponencial

1.     [pic 54]
2.                    Solución           →      [pic 55][pic 56][pic 57]

1.                       Solución            →        [pic 58][pic 59][pic 60]

1.                         Solución            →    [pic 61][pic 62][pic 63]

1.    [pic 64]

1.                     Solución           →     [pic 65][pic 66][pic 67]

1.                     [pic 68]
2.     [pic 69]
3.     [pic 70]
4.     [pic 71]
5.     [pic 72]
6.     [pic 73]
7.                      Solución            →     [pic 74][pic 75][pic 76]

1.                           Solución             →            ó     [pic 77][pic 78][pic 79][pic 80]

EJERCICIOS 3   Resuelva la ecuación

1.                     [pic 81]

Solución      →               →                →        [pic 82][pic 83][pic 84][pic 85]

1.           [pic 86]

1.            [pic 87]

Solución         →        →         →          →       [pic 88][pic 89][pic 90][pic 91][pic 92]

1.                  [pic 93]

Solución               →             [pic 94][pic 95]

1.      [pic 96]

Solución         →        →        →         →       [pic 97][pic 98][pic 99][pic 100][pic 101]

1.         [pic 102]

 Solución    →        →         →        →     [pic 103][pic 104][pic 105][pic 106]

Propiedades de los logaritmos

Teorema 6.6 Propiedades algebraicas de los logaritmos.  Sea  una función logarítmica () y sea  números reales.[pic 107][pic 108][pic 109]

1. Regla del producto:  [pic 110]
2. Regla del cociente:  [pic 111]
3. Regla de la potencia:                   para todo número real c.[pic 112]

Reglas de Logarítmos comunes: su base es 10

1.   =              [pic 113][pic 114]
2.  [pic 115]
3.  [pic 116]

Reglas de Logarítmos Naturales: su base es el número [pic 117]

1.   =              [pic 118][pic 119]
2.  [pic 120]
3.  [pic 121]

EJERCICIOS 4     Exprese en términos de logaritmos de  ó [pic 122][pic 123]

1.  [pic 124]
2.  [pic 125]
3. [pic 126]

1.  [pic 127][pic 128]

                                          [pic 129]

EJERCICIOS 5     Exprese como un único logarítmo

1. [pic 130]
2. [pic 131]
3. [pic 132]
4. [pic 133]

Solución

[pic 134]

                                              [pic 135]

                                                           [pic 136]

1.  [pic 137]

Solución

[pic 138]

1.   [pic 139]
2.   [pic 140]
3.   [pic 141]
4.   [pic 142]
5.   [pic 143]

EJERCICIOS 6      Expanda o exprese en términos de logaritmos de   ó , etc, usando las propiedades de los logaritmos.  Asuma cuando sea necesario que todas las cantidades representen números reales positivos.[pic 144][pic 145]

1.   [pic 146]

Solución

 [pic 147]

                   [pic 148]

                  [pic 149]

                 [pic 150]

                 [pic 151]

1. [pic 152]
2. [pic 153]
3. [pic 154]
4. [pic 155]
5. [pic 156]

II.  Ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas

EJERCICIOS 7     Resuelva la ecuación                    [pic 157]

Solución

Ahora resuelva usted la ecuación exponencial                       Respuesta [pic 170][pic 171]

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