Matematicas

TECNOLOGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE ECATEPEC

DIVISIÓN DE INGENIERÍA MECATRÓNICA E INDUSTRIAL

MATEMATICAS PARA INGENIERÍAS

Curso Propedéutico

2005

ÍNDICE

Pág.

UNIDAD I. Introducción 3

UNIDAD II. Sistema de los Números Reales 4

UNIDAD III. Aritmética 9

UNIDAD IV. Potenciación y Radicación 17

UNIDAD V. Álgebra 28

UNIDAD VI. Factorización. 32

UNIDAD VII. Productos Notables 50

UNIDAD VIII. Desarrollos Binomiales 56

UNIDAD IX. Triángulo de Pascal 65

UNIDAD X. Polinomios 60

I. INTRODUCCION

Uno de los problemas fundamentales que se presentan al estudiar un fenómeno físico, (fenómeno real), es la posibilidad de determinar la relación que existe entre todas las cantidades necesarias, o suficientes, para describir a dicho fenómeno. Al establecer la relación que existe entre todas estas cantidades, se plantea la posibilidad de poder determinar el comportamiento del fenómeno para condiciones impuestas por agentes externos al fenómeno. A este proceso se le denomina modelación.

Por ejemplo, al estudiar el fenómeno de tiro parabólico se deseaba determinar la relación que existe entre las cantidades necesarias para describir con precisión el comportamiento del fenómeno. Se encontró que las variables importantes y necesarias eran la velocidad inicial del disparo, el ángulo de inclinación del disparo en la maquina de tiro, y ciertas cantidades como son: la masa del cuerpo, la gravedad de la tierra, el coeficiente de fricción, etc. De esta forma se encuentra una ecuación, que corresponde a una ecuación diferencial de segundo orden. La solución de esta ecuación diferencial permite determinar la relación entre todas las cantidades involucradas en el fenómeno. Esta relación permite predecir con certeza donde puede caer un cuerpo de cierta masa, disparado con una cierta velocidad, y un ángulo de inclinación, considerando las características externas al fenómeno.

De esta forma, el propósito fundamental del estudio de un fenómeno real consiste en contar con la posibilidad de predecir el comportamiento del fenómeno estudiado, predecir resultados, para así poder tomar decisiones. La necesidad de buscar la predicción del comportamiento de un fenómeno en forma exacta hace necesario utilizar un modelo que sea lógicamente estricto, para evitar la ambigüedad de los posibles resultados. Este modelo lo proporciona la Matemática.

La Matemática y la Física proporcionan todos los elementos necesarios para construir un modelo lógicamente estricto del fenómeno estudiado. La relación que se puede establecer entre todas las posibles cantidades necesarias para describir a un fenómeno se denomina función. El estudio y análisis de las propiedades generales de las funciones recae fundamentalmente, a un nivel básico, en el Cálculo Integral y Diferencial. El cálculo integral y diferencial proporciona la información necesaria y suficiente sobre una función, y para esto necesita manipular cantidades abstractas que representan a los posibles valores que pueden tomar todas las cantidades involucradas en la descripción del fenómeno. La forma en que estas cantidades abstractas se relacionan entre sí esta determinada por las propiedades y reglas del Álgebra de los Números reales.

De esta forma, el objetivo de este material es proporcionar todos los elementos necesarios del Álgebra de los Números Reales para poder definir e implementar las estrategias adecuadas para el estudio de un fenómeno, con el fin de poder describir su comportamiento y predecir nuevos resultados. El conocimiento del comportamiento de un fenómeno permite plantearse el problema del diseño y construcción de nuevos dispositivos basados en las propiedades del fenómeno estudiado.

II. SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES

La descripción de los fenómenos naturales, y la posibilidad de poder controlarlos y predecir su comportamiento bajo condiciones impuestas desde agentes externos al fenómeno, hace necesario abstraer los procedimientos de dicho fenómeno y formular modelos matemáticos que describan fielmente al fenómeno. El Modelo matemático describe de manera abstracta al fenómeno. Todos los procedimientos y procesos que se verifican en el fenómeno son representados por operaciones abstractas entre objetos generalizados (objetos matemáticos).

Al introducir un conjunto de “objetos” generales, se hace necesario poder definir operaciones que permitan combinar los objetos de dicho conjunto. Una de las características que deben de satisfacer las operaciones introducidas en el conjunto es que sean consistentes. Esto significa que si se toman dos “objetos” o elementos del mismo tipo y se efectúa una operación con ellos se espera que el resultado sea un elemento del mismo tipo. Esta condición es la pieza fundamental para poder definir operaciones en un conjunto dado. Se denomina propiedad de Cerradura o Clausura. Toda operación que satisfaga esta propiedad se dice que está bien definida. Si una operación no está bien definida en un conjunto, esta debe ser eliminada (el cual es el caso menos interesante), o introducir nuevos elementos en el conjunto para que dicha operación esté ya bien definida. De esta forma se obtienen conjunto más generales y más ricos en estructura matemática. Esto es, se pueden hacer más cosas.

Uno de los conjuntos más relevantes en las matemáticas es el conjunto de los Números Reales. Estos pernean toda la estructura matemática que se utiliza en las Ciencias de la Ingeniería. Este es el motivo de su estudio.

Números Reales.

El conjunto de los números reales es el conjunto que contiene a todos los números que se utilizan en el Cálculo diferencial e integral de funciones reales de variable real. El Cálculo que se utiliza regularmente en las de las Ciencias de las Ingenierías. Alguna vez se hablará de un tipo especial de números denominados Números Complejos.

Los Números Reales tienen una estructura bien definida, en términos de conjuntos de números más elementales.

Números Naturales.

El conjunto de números más simple es el conjunto de los Números Naturales. Este conjunto se denota por el símbolo N, y esta definido en la forma:

N

El conjunto de los números Naturales contiene a todos los números que se utilizan para contar. La operación fundamental que se puede definir en este conjunto es la operación de Adición o Suma. La operación de Adición satisface la propiedad de Cerradura. Esto significa que si se suman dos números naturales el resultado es un número natural.

Es posible que se necesite sumar un mismo número varias veces. Esto es, una suma repetida. Se puede introducir una representación de esta suma repetida, y al hacerlo se introduce una nueva operación.

A la nueva operación se le denomina Multiplicación o producto.

En la operación , el 8 indica que el número 3 se suma consigo mismo de tal forma que aparece 8 veces en la suma repetida. Pero se puede plantear de otra forma, ya que es posible cambiar de orden los elementos de la operación, y escribir , la cual indica que el número 8 se suma consigo mismo de tal forma que el 8 aparece 3 veces en la suma repetida. A esta propiedad se le denomina Propiedad conmutativa.

Entonces, en los números naturales solo se pueden efectuar operaciones de Suma y Multiplicación, de tal manera que los resultados sean números naturales.

Para poder indicar que a una cierta cantidad “se le va a quitar” otra cantidad se introduce una nueva operación que se denomina Sustracción o Resta. Sin embargo se tiene que esta operación no se puede definir en los números naturales, debido a que hay ocasiones en que el resultado de una resta no es un número natural. Por ejemplo, si a 8 le restamos 8 nos quedamos sin “nada”. A este “nada” se le denota con el símbolo 0, el número cero, el cual no es un número natural. De igual forma, si a 3 le restamos 9 nos da un resultado que no está en los números naturales. Entonces se hace necesario introducir otro conjunto de números en el cual se pueda definir la operación de resta.

Números Enteros.

El conjunto de los Números enteros se denota con el símbolo Z y se define en la forma:

Z

Esto es, el conjunto de los números enteros contiene a todos los números naturales. Se observa que cada número natural tiene un compañero que se denomina Inverso aditivo, y esta representado por el número natural correspondiente antecedido de un signo negativo. Esto es, el inverso aditivo del número natural es el número . Además se tiene un nuevo número, un número muy especial, que se denota por y se denomina Neutro aditivo.

Las operaciones definidas en este conjunto son Suma, Multiplicación y Resta.

¡Ya es posible efectuar

...