Matematicas

SECRETARIA DE EDUCACIÓN PUBLICA

SUBSECRETARIA DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR

DIRECCIÓN DE BACHILLERATOS ESTATALES Y PREPARATORIA ABIERTA

DEPARTAMENTO DE PREPARATORIA ABIERTA

MATEMÁTICAS IV

GUIA DE ESTUDIO

Compilado por: Mtra. Herlinda Bravo Moreno

MAYO 2010, PUEBLA

MATEMÁTICAS IV

CONTENIDO TEMATICO

UNIDAD MODULO TEMA

Unidad XIII

FUNCIONES

CIRCULARES

Módulo 1

Circunferencia unitaria

Módulo 2

Valores de las funciones circulares

Módulo 3

Gráfica de las funciones seno y coseno

Módulo 4

Identidades Fundamentales

Unidad XIV

FUNCIONES

CIRCULARES DE

SUMA Y

DIFERENCIA DE

NUMEROS

REALES

Módulo 5

Coseno de la diferencia de dos números

Módulo 6

Funciones circulares de la suma de números reales

Módulo 7

Funciones circulares del doble y la mitad de un

número

Módulo 8

Transformación de productos a sumas

Unidad XV

FUNCION

EXPONENCIAL Y

LOGARITMICA

Módulo 9

Funciones exponenciales y logarítmicas

Módulo 10

Función Logarítmica

Módulo 11

Logaritmos comunes y de las funciones

trigonométricas

Módulo 12

Aplicaciones de la función exponencial

Unidad XVI

RESOLUCIÓN

DE

TRIANGULOS

Módulo 13

Valores y aplicaciones de las funciones circulares

Módulo 14

Interpretación geométrica de las funciones

circulares

Módulo 15

Aplicación de las funciones circulares a la

resolución de triángulos

Módulo 16

Teorema de los cosenos

MATEMATICAS IV

UNIDAD XIII

FUNCIONES CIRCULARES

Modulo 1

Circunferencia unitaria

OBJETIVO

Calcular la distancia entre dos puntos, circunferencia unitaria y funciones

circulares.

El hombre al tener la necesidad de medir utiliza las herramientas de las

matemáticas y una de ellas es la trigonometría que significa “medición de

triángulo”se encuentran implícitas las funciones trigonomètricas y circulares. La

aplicación de las circulares es la distancia entre dos puntos, las coordenadas

rectangulares en el plano cartesiano forman la ecuación de la circunferencia

unitaria con centro en el origen. Las coordenadas A (x1.y1) y B (x2.y2)

.

.

B (x2,y2)

.

. .A (x1,y1)

Para encontrar la medida de la distancia del segmento AB se utiliza el Teorema

de Pitágoras.

AB = √ ( x2 -- x1 ) 2 + ( y2 -- y1 )2

Ejemplo:

La distancia entre los puntos A ( 3 , 8 ) y B ( 5 , 9 ).

AB = √ ( 5 -- 3 ) 2 + ( 9 -- 8 )2

= 2 2

2 + 1

= √ 3

= 1.7

1.1.2 CIRCUNFERENCIA UNITARIA

Es el conjunto de puntos del plano que están a la misma distancia, con punto de

origen 0 ( 0, 0 ) y de radio uno 2 2

x + y = 1

La ecuación de la circunferencia unitaria con centro en el origen es :

2 2

C = (x , y) x + y = 1

1.2 FUNCIONES CIRCULARES

La longitud de una circunferencia esta dada por la expresión C = 2πr. Donde

“r” es la medida del radio correspondiente; ésta expresión nos permite determinar

la longitud de la circunferencia unitaria al sustituir “r” por 1.

C = 2π . 1 unidades

C = 2π unidades

La longitud del arco es: ą > 2π (ą > 2π ò ạ < -2π )

Cada arco tiene un punto terminal y cada arco se representa por un único número

real, genera una función cuyo dominio es el conjunto de los números reales

(ą € R ) y su contradominio el conjunto de los puntos en la circunferencia

unitaria [P( a ) ] Los puntos se representan en dos formas (x,y) posición

respecto a los ejes coordenados y P(ą) ubica cada punto indicado en su

distancia a ( 1,0 ) y se resume con la igualdad P(ą) = ( x ,y )

y

P( ą )

ą

x

1.2.1 LOCALIZAR PUNTOS EN C.

Π Carece de representación por ser un número irracional sólo se aproxima,

π = 3.1416 O 22/7 cual sea el número racional utilizado. La longitud de la

circunferencia unitaria es C = 2π , como se muestra en figura sobre la los ejes

coordenados.

P ( π / 2 ) = 1.5708

P ( 2 )

P (o )

P ( π) P (2 π)

1.3 DEFINICION DE SENO Y COSENO

La función coseno tiene como dominio al conjunto de los números reales y como

contradominio al conjunto de las “x” de los puntos de la circunferencia unitaria,

siendo la longitud del radio igual a 1 (r = 1), los puntos más alejados del eje “y·”

son : A ( I,0 ) y E ( - 1 , 0 ) , están a una unidad del mismo y el contradominio de

esta función es:

(xa € R | -1 ≤ x ≤ 1 ) Como se muestra en la figura.

|| | < 1 |

E ( - 1, 0 ) A ( 1 , 0 )

| < 1

El coseno en la pràctica con signo positivo.

X =cos α , α € R , - 1 ≤ x ≤ 1

Función coseno

El dominio es también el conjunto de los números reales ( R ) y su

contradominio esta constituido por las “y”.

Si P ( α) = ( x, y ) es un punto de la circunferencia unitaria

y = sen α , α € R

Es la ecuación que define a la función seno.

B (0,1 )

| y | < 1

|y | < 1

La ecuación que define a función tangente es:

Sen α

Tg = ------------ , cos α ≠ 0

Cos α

Las tres funciones que se mencionan a continuación están dadas en términos de

las coordenadas del punto terminal P (α )

x

Cotangente, cot α = ----- y ≠ 0

y

1

secante , sec α = -------- x ≠ 0

x

1

cosecante, csc α = ------- y ≠ 0

y

Determinación de las funciones reciprocas

Cos α 1

Si sen α ≠ 0; cot α = --------- ò cot α = ------- ò tg α cot α =1

Sen α tg α

1

Si cos α ≠ 0; sec α = ---------- ò cos α sec α = 1

Cos α

1

Si sen α ≠ 0; csc α = --------- ò sen α csc α = 1

Sen α

1.3.1 SIGNO DE LAS FUNCIONES CIRCULARES EN CADA UNO DE LOS

CUATRO CUADRANTES.

Primero y tercer cuadrante son positivos, segundo y cuarto son negativos.

REACTIVOS DE AUTOEVALUACION

a) Encontrar la distancia entre los puntos que se mencionan.

1) (4,5) y (6,10 )

2) (8,4) y (2,-8)

3) (6,-5) y (4,9)

4) (-4,-7) y (-6 , 7 )

b) Demostrar que los puntos A (3 , 8), (5 , 9) y (4 , 6) son los vértices de un

triángulo isósceles.

c) Localizar aproximadamente los siguientes puntos en la circunferencia unitaria.

P ( 9π/ 6 )

P ( 2π )

UNIDAD XIII

FUNCIONES CIRCULARES

Modulo 2

Valores de las funciones circulares

OBJETIVO

Calcular las funciones circulares de los arcos, determinar e4l valor y las

coordenadas de los puntos terminales.

2.1 VALORES DE LAS FUNCIONES CIRCULARES

Las coordenadas x y y son los valores funcionales del número real β; donde

cos β = x, sen β = y son puntos terminales, los arcos cuadrantes se

encuentran en el punto terminal de la frontera de dos cuadrantes. Como se

muestra en la figura.

y

P ( β ) = ( 0 , 1 )

β

P ( β ) = ( x,y )

A ( 1 , 0 )

x

Los valores de las funciones circulares se presentan en la siguiente tabla

β P ( x , y ) Cos β Sen β

0

π / 2

π

3 π/ 2

2 π

( 1 , 0 )

( 0 , 1 )

( -1 , 0 )

( 0 , - 1 )

( 1, 0 )

1

0

-1

0

1

0

1

0

-1

0

Identidades trigonomètricas de tg β , sec β y csc β

Sen β 1 1

Tg β = ---------- , sec β = -------- y csc β = -------

Cos β cos β sen β

Aplicaciones de las identidades trigonomètricas

Ejemplo:

Encontrar el valor exacto de csc 3 π/ 2

Solución : Se establecen las coordenadas del punto terminal de la circunferencia

unitaria que corresponde a la longitud del arco π

y

x

P ﴾ 3π/2 ﴿ = ( 0 . –1 )

Aplicación de la identidad trigonomètrica respectiva.

1 1

Csc 3 π/ 2 = --------------- = ------ = -1 , el valor encontrado de csc 3 π/ 2 = -1

Sen 3 π/ 2 -1

2.2 VALORES DE LAS FUNCIONES CIRCULARES PARA ARCOS π/ 4 , π/ 6 ,

π / 3 Y SUS MÚLTIPLOS

Calculo de coordenadas de puntos terminales de arcos cuyas longitudes son

algunos múltiplos o submúltiplos de π

Calculo de las coordenadas del punto terminal correspondiente al arco de longitud

π/ 4

Solución: Representación del punto , trazo del segmento de recta perpendicular a

ambos ejes y pase por el punto P ( π/ 4 ) , resulta un cuadrado y se justifica

por geometría plana, al trazar la diagonal se forma un triángulo rectángulo , se

utiliza el teorema de Pitágoras para calcular el resultado.

P ( π / 4 ﴿

1 z

z

El punto esta localizado exactamente

...