Matemática

1) CONCEPTO DE GEOMETRÍA Y GEOMETRÍA PLANA.

LA GEOMETRÍA

Es una parte de la matemática que trata de estudiar unas idealizaciones del espacio en que vivimos, que son los puntos, las rectas y los planos, y otros elementos conceptuales derivados de ellos, como polígonos o poliedros.

La Geometría es una de las disciplinas científicas más antiguas que existen. Se ocupa de estudiar las propiedades de los objetos atendiendo a su forma, tamaño y posición.

LA GEOMETRÍA PLANA

Es la rama de la geometría elemental que estudia las propiedades de superficies y figuras planas, como el triángulo o el círculo. Esta parte de la geometría también se conoce como geometría euclídea, en honor al matemático griego Euclides, el primero en estudiarla en el siglo IV a.C. Su extenso tratado Elementos de geometría se mantuvo como texto autorizado de geometría hasta la aparición de las llamadas Geometría no euclideas en el siglo XIX.

2) DEFINIR LOS ELEMENTOS GEOMÉTRICOS FUNDAMENTALES (EL PUNTO, LA RECTA Y EL PLANO).

El punto: nos sirve para definir una posición en el plano. Formamos una línea cuando unimos diferentes puntos. Sin embargo, para distinguir una recta de otra, debemos nombrar dos de sus puntos.

Decimos que una recta pertenece a un plano, cuando todos sus puntos, son también puntos que pertenecen al plano.

Las rectas: se forman por la unión de puntos que van en la misma dirección. Como puedes ver en el dibujo, las rectas pueden tener dirección horizontal, vertical u oblicua. Decimos que es oblicua, cuando tiene cualquier otra forma que no es ni horizontal ni vertical.

Recta Horizontal Recta Vertical Recta Oblicua

El plano: es una superficie infinita que está formada por puntos y rectas, y donde podemos encontrar figuras geométricas como: triángulos, rombos, cuadrados, entre muchas otras.

Un plano está compuesto por infinitos puntos. Utilizamos el símbolo P para referirnos a un plano y debemos dibujar, a lo menos, tres puntos no alineados. El dibujo que ves, es una presentación del plano: P CBD.

3) CONCEPTO DE CIRCUNFERENCIA Y SEMICIRCUNFERENCIA. DEFINIR LOS ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA (CENTRO, RADIO, DIÁMETRO, CUERDA Y ARCO)

Circunferencia: Se llama circunferencia al conjunto de puntos cuya distancia hacia el centro (radio) es siempre la misma.

Semicircunferencia: Una semicircunferencia es cada uno de los arcos iguales que abarca un diámetro.

Longitud de la semicircunferencia

LAS PARTES DE LA CIRCUNFERENCIA SON:

• Arco: que es el borde de la circunferencia

• Radio: que es cuando se traza una línea desde el centro de la circunferencia hacia cualquier otro punto de la circunferencia luego está la cuerda que es la unión de dos puntos de la circunferencia

• Diámetro: que es la línea que separa en dos partes la circunferencia. El diámetro siempre medirá el doble que el radio.

• Centro: el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia;

• Cuerda: La cuerda es un segmento que une dos puntos de la circunferencia. El diámetro es la cuerda de longitud máxima.

4) POSICIONES RELATIVAS DE UNA RECTA Y UNA CIRCUNFERENCIA. POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS

 POSICIONES RELATIVAS DE UNA RECTA Y UNA CIRCUNFERENCIA

Recta secante Recta tangente Recta exterior

La recta corta a la circunferencia en dos puntos.

La recta corta a la circunferencia en un punto.

No tiene ningún punto de corte con la circunferencia.

 POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS

 Ningún punto en común:

Exteriores Interiores Concéntricas

La distancia entre los centros es mayor que la suma de las radios.

La distancia entre los centros es menor que la diferencia de los radios.

Los centros coinciden.

 Un punto en común:

Tangentes exteriores Tangentes interiores

La distancia entre los centros es igual a la suma de los radios.

La distancia entre los centros es igual a la diferencia de los radios.

 Dos puntos en común

Secantes

La distancia entre los centros es mayor que la diferencia de los radios.

5) ESTABLECER LA ECUACIÓN PARAR CALCULAR LA LONGITUD DE UNA CIRCUNFERENCIA. HACER UN EJEMPLO.

La longitud de una circunferencia es igual a 2 pi por el radio.

Ejercicios

1º Calcular la longitud de una rueda de 90 cm de diámetro.

1º A partir del diámetro

2º A partir del radio

6) CONCEPTO DE CÍRCULO, SEMICÍRCULO. DEFINIR LOS ELEMENTOS DE UN CIRCULO (ÁNGULO CENTRAL, SECTOR CIRCULAR, SEGMENTO CIRCULAR, CORONA CIRCULAR, TRAPECIO CIRCULAR Y FAJA CIRCULAR). FÓRMULA PARA CALCULAR EL ÁREA DE UN CIRCULO Y SUS ELEMENTOS

 UN CÍRCULO

Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a otro punto fijo, llamado centro, es menor o igual que una cantidad constante, llamada radio. En otras palabras, es la región del plano delimitada por una circunferencia y que posee un área definida.

Área de un círculo

Un semicírculo, es cada una de las dos mitades del círculo separadas por el diámetro.

Área del semicírculo

 Elementos de un círculo

 El ángulo central, tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son dos radios.

La medida de un arco es la de su ángulo central correspondiente.

 Un sector circular, es la porción de círculo limitada por dos radios.

Área del sector circular

 segmento circular, Un segmento circular es la porción de círculo limitada por una cuerda y el arco correspondiente.

Área del segmento circular

AB = Área del sector circular AOB − Área del triángulo AOB

 Una corona circular, es la porción de círculo limitada por dos círculos concéntricos.

Área de una corona circular

El área de una corona circular es igual al área del círculo mayor menos el área del círculo menor.

 Un trapecio circular, es la porción de círculo limitada por dos radios y una corona circular.

Área de un trapecio circular

El área del trapecio circular es igual al área del sector circular mayor menos el área del sector circular menor.

7) CONCEPTO DE TRIANGULO. ELEMENTOS DE UN TRIANGULO. PROPIEDADES DE LOS ÁNGULOS INTERNOS Y EXTERNOS DE UN TRIANGULO. CLASIFICACIÓN. RECTAS NOTABLES DE UN TRIANGULO. FÓRMULA PARA CALCULAR EL ÁREA DE UN TRIANGULO.

 EL TRIÁNGULO

Es un polígono de tres lados. El triángulo está determinado por tres segmentos de recta que se denominan lados, o por tres puntos no alineados llamados vértices.

 ELEMENTOS DE UN TRIÁNGULO

• Bisectriz, es la semirrecta que divide a un ángulo en dos partes iguales.

• Incentro, es el punto de intersección de las tres bisectrices de un triángulo. Es el centro de la circunferencia inscripta.

• Mediatriz de un segmento, es la recta perpendicular al mismo en su punto medio.

• Circuncentro, es el punto de intersección de las tres mediatrices de un triángulo. Es el centro de la circunferencia circunscripta.

• Altura, es el segmento perpendicular comprendido entre un vértice y el lado opuesto.

• Ortocentro, es el punto de intersección de las tres alturas de un triángulo.

• Mediana, es el segmento comprendido entre un vértice y el punto medio del lado opuesto.

• Baricentro, es el punto de intersección de las tres medianas de un triángulo.

 PROPIEDADES DE LOS TRIÁNGULOS

1) Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.

a < b + c

a > b – c

2) La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.

A + B + C =180º

3) El valor de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.

α = A + B

α = 180º - C

4) En un triángulo a mayor lado se opone mayor ángulo.

5) Si un triángulo tiene dos lados iguales, sus ángulos opuestos también son iguales.

 CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS

1) Según sus lados:

Triángulo equilátero Triángulo isósceles

Tres lados iguales Dos lados iguales

Triángulo escaleno

Tres lados

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