Matemáticas aspectos de la dimensión

Nombre del autor: Antonio Muñoz Tadeo

Campo Formativo: Pensamiento matemático

Asignatura: Geometría

Grado escolar: 2° de licenciatura

Institución de pertenencia: Escuela Normal Occidental

Entidad Federativa:

Nombre del catedrático de la materia

Lugar y fecha: Guadalajara Jalisco

Resumen

En este proyecto se reflexiona, inicialmente, sobre cuestiones generales de la medida con la intención de poner de manifiesto los diferentes aspectos que caracterizan a la misma: complejidad del proceso de construcción de los conceptos de medida, análisis de la medida en su aspecto dinámico y en su conexión con la realidad, así como resaltar el interés de la estimación en la medida como un proceso cognitivo relevante para planificar, más tarde, su enseñanza-aprendizaje en esta etapa educativa.

Su presentación se hará mostrando, en primer lugar, unas breves referencias a los aspectos matemáticos generales de la Medida para centrarnos especialmente, más tarde, en los aspectos didácticos.

Introducción

Puesto que medir en un acto difícil y complejo, que requiere del alumno practica y soltura en los procesos de clasificación y seriación, parece interesante que los niños tengan desde muy pronto la oportunidad de encontrar en su medio ocasiones que les pongan en contacto con las magnitudes físicas, aunque inicialmente este contacto se lleve a cabo de una manera intuitiva, explorando con los sentidos.

Consecuentemente, el alumno debe encontrar en el entorno de la clase materiales apropiados, estructurados o no, cuya observación y manipulación le suministre datos, tales como sus atributos; sin ellos sería imposible levantar un armazón matemático tan complejo como el que requieren las magnitudes. Se consigue, así, que el alumno establezca relación entre los objetos y las acciones, que observe semejanzas y diferencias, para que, en definitiva, pueda construir el conocimiento lógico-matemático.

Las magnitudes son las propiedades de los objetos materiales que se pueden cuantificar. Por ejemplo, la longitud, la superficie o el volumen de un cuerpo. O la capacidad de un recipiente.

No son magnitudes, por ejemplo, la belleza o la armonía. La asignación de valores numéricos a las cantidades de una magnitud se hace

mediante el proceso de medida de dichas cantidades.

Este proceso comienza con una clasificación de los objetos atendiendo a la propiedad que se pretende cuantificar. Supongamos que el atributo elegido es la longitud. Los objetos se comparan según el criterio "es tan largo como". La comparación proporciona una partición en el conjunto de objetos, de manera que cada subconjunto de la partición (clase de equivalencia) se caracteriza porque todos los objetos que lo forman tienen la misma longitud. Se ha obtenido una clasificación (relación de equivalencia) de los objetos de partida atendiendo al atributo "longitud".

Cada clase de equivalencia así obtenida recibe el nombre de cantidad de magnitud, en este caso cantidad de longitud. Es ahora posible comparar objetos que pertenecen a distintas clases de equivalencia con la seguridad de que siempre uno ser más largo que el otro. Y basta tomar un objeto de cada clase para la comparación sin que el resultado varíe.

Para medir una cantidad de magnitud se hace una comparación entre dicha cantidad y una cantidad patrón que se establece como unidad de medida. Por ejemplo, en el caso de las longitudes se suele tomar como unidad el metro. Si el valor de longitud que se intenta cuantificar es 7 veces mayor que el metro, se dice que su medida es de 7 metros.

Para poder decir que una cantidad es 7 veces mayor que otra, es necesario que las cantidades de esa magnitud se puedan sumar. Así una longitud de 7 metros es una longitud que equivale al resultado de sumar 7 veces la longitud de 1 metro.

(En matemáticas el concepto de magnitud se suele definir de forma abstracta, atendiendo a las relaciones que implica, prescindiendo de los objetos y fenómenos concretos a los que afecta. Por ello, desde un punto de vista matemático abstracto, una magnitud -escalar- se suele definir simplemente como un conjunto dotado de una operación interna, respecto a la que tiene estructura de semí-grupo conmutativo, dotado de elemento neutro. La medida es una aplicación de la magnitud en un conjunto numérico).

Es evidente que el número natural no es suficiente para expresar el resultado de una medida en una magnitud, no siempre la cantidad de magnitud a medir contiene un número entero de veces a la unidad elegida. De aquí surge la necesidad de fraccionar la unidad con el fin de expresar los resultados con más fiabilidad y exactitud. Parece obvio que la construcción de los números racionales como extensión de los enteros es consecuencia de la medición de magnitudes.

Pero con la introducción de los números fraccionarios no termina la necesidad de ampliación de los conjuntos numéricos. No siempre se puede expresar el resultado de una medición mediante una fracción, mejor dicho, casi nunca se puede. Los pueblos anteriores a los griegos se contentaban con efectuar mediciones suficientemente aproximadas al problema físico a resolver. Fueron los matemáticos griegos los que descubrieron los intervalos inconmensurables.

La idea de que el cociente entre las longitudes de dos intervalos, considerando como unidad de longitud el divisor, fuera un número tiene su primera cronología en el siglo XVI con Bombelli y posteriormente con Descartes. Ampliando esta idea, los números reales se pueden considerar como longitudes y representarlos en una recta. La estructura numérica creada pretende responder a las necesidades concretas de medición y a los problemas de abstracción de las magnitudes geométricas. Para llegar a una definición rigurosa del número real se han necesitado las aportaciones de destacados matemáticos a lo largo de varios siglos: Newton (siglo XVII-XVIII); Cauchy (siglo XIX); Weierstrass (siglo XIX); Dedekind (siglo XIX-XX), Cantor (siglo XIX-XX)...

ASPECTOS GENERALES

La medida de una magnitud es un acto que los niños no pueden realizar de una forma fácil y espontánea. Esta dificultad se debe, entre otras razones, a que la realización del acto de medir requiere un importante desarrollo lógico, desarrollo de capacidad de estimaciones, clasificaciones y seriaciones. Por ello, la práctica de la medida con instrumentos estandarizados se ha de diferir hasta bien avanzada la enseñanza primaria, permitiendo hasta entonces una aproximación más cualitativa a la medida.

Casi toda la investigación correspondiente al desarrollo de las nociones de medida emana de estudios efectuados por Piaget, y concierne principalmente a la medición de entidades espaciales como la longitud, la superficie o el volumen.

En líneas generales, es usual admitir que el niño debe superar diferentes estadios para el conocimiento y manejo de una magnitud dada.

Seguiremos aquí la descripción de dichos estadios efectuada por Chamorro y Belmonte (1988, Editorial Síntesis).

ESTADIOS INICIALES

Inicialmente, el niño pequeño, incluso en el primero o segundo año de preescolar, no da muestras de captar la idea de conservación de la longitud frente a ciertas transformaciones, como por ejemplo, cambio de posición. Cuando una línea cambia de posición en el espacio, los niños juzgan que su longitud ha cambiado también. Así, en el test de conservación de longitud clásico, el niño juzga que líneas iguales son desiguales, porque sus extremos no están alineados.

Los juicios sobre áreas y volúmenes se fundan por lo común en la maxima dimensión lineal (es más grande porque es más largo ).

Es típico de estas fases iniciales que el niño se apoye en estimaciones visuales. Por ejemplo en el caso de1a actividad consistente en la construccion una torre de la misma altura que otra dada el niño tender a aproximarlas, para mejorar la comparación visual, pero sólo se fija en la cima de las torres, despreciando el hecho de que las bases se encuentran a distinto nivel.

Es incapaz de aplicar con significado instrumento de medida alguno. Si se le proporciona una unidad de medida, o bien superpone las unidades, o deja huecos de una a otra, o cubre tan sólo una parte de la dimensión que hay que medir. No dispone de intermediario móvil.

ESTADIO EN QUE COMIENZAN_A EMERGER LA CONSERVACIÓN Y LA TRANSITIVIDAD

El niño muestra que comienza a desarrollarse en él cierta idea de conservación y también de transitividad (A tiene la misma longitud que B y ésta que C, luego A y C tienen la misma longitud). Por ejemplo, cuando utiliza como instrumento de medida algún elemento intermediario, por burdo que sea, como la abertura de sus brazos o algún punto de referencia de su cuerpo, como la altura de su hombro.

Así suele suceder, según Piaget, mas o menos hacia los seis o siete años de edad. En esta fase el niño está empezando a apreciar por experimentación basada en tanteos que si hacen falta más unidades para cubrir A que para cubrir B, entonces A es más grande. Todavía no puede comprender la necesidad de que las unidades de medida sean todas del mismo

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