Matricez

ALGEBRA LINEAL

UNIDAD lll

¨MATRIZ INVERSA POR DETERMINANTE¨

ING.ADMINISTRACIÓN

MAESTRA: HANNY SALAZAR CUEVAS

EQUIPO:

CETZ MAY MIGUEL

DZUL PUCH RICARDO

MOO POOL GREYSI

MENA EK EMMANUEL

SANTOS NAH PABLO

SALAS BURGOS MARLENE

TUN MENDEZ ALBERTO

MATRIZ INVERSA DE UNA DETERMINANTE

Matriz inversa es la última operación matricial básica. Solo se aplica a matrices cuadradas. Cuando existe una inversa, esta es análoga al reciproco de un numero de distinto de cero.

Inversa

Se dice que la matriz A de n X n es invertible, o no singular, si existe una matriz B, llamada la inversa de A tal que

AB=I y BA=I

Obsérvese que la definición obliga a que B tenga el tamaño de n X n.

Una matriz invertible solo tiene una inversa, es decir, la inversa es única. Si C fuera otra inversa, entonces

B=〖BI〗_n= B (AC) = (BA) C= I_nC=C

Por consiguiente, B=C. la inversa única de una matriz invertible A se representa por A^(-1). Así,

〖AA〗^(-1) = I y A^(-1)= I

Una matriz cuadra que no tiene inversa se llama no invertible o singular.

A=[■(a&b@c&d)] es inversa si y solo si ad – bc ≠ 0, en cuyo caso.

A^(-1)= 1/(ad-dc) = [■(d&-b@-c&a)]

Si la matriz A, n X n, puede invertirse, el sistema Ax=b tiene exactamente una solución para cada vector n b. esta solución única es

X= A^(-1)b

Demostración

X= A^(-1)b es solución porque al sustituir en el sistema se obtiene A ( A^(-1)b)= b es decir (AA^(-1)) b= b, Ib.=b, o b=b, lo cual es cierto. Además, la solución es única, porque si y también lo fuera entonces

Ay= b =>A^(-1) Ay= A^(-1)b=> y=A^(-1)b

En este caso, todas las soluciones se expresa de la misma fórmula: A^(-1)b.

Caso especial si A es invertible, entonces Ax= 0 solo tiene la solución trivial

Propiedades de las matrices inversas

El producto de dos matrices inversa es invertible. Su inversa es el producto de las inversas de los factores en orden inverso. Así, si A y B son matrices n X n invertible, también AB lo será, y

〖(AB)〗^(-1)=B^(-1) A^(-1)

La inversa de una matriz invertible también es invertible. Su inversa es la matriz original. Por consiguiente, es A es invertible, también lo es A^(-1), y

〖(A〗^(-1) )^(-1)=A

Cualquier producto de un escalar distinto de cero por una matriz invertible es invertible. Su inversa es el producto de reciproco de escalar por la inversa de la matriz. Por consiguiente, si A es invertible y ces un escalar distinto de cero, entonces cA es invertible y siguiente, si A es invertible y c es escalar distinto de cero, entonces cA es invertible y

〖(cA〗^(-1) )^(-1)=1/c A^(-1)

Demostración

Necesitamos comprobar que (AB)( B^(-1) A^(-1))=I=(B^(-1) A^(-1))(AB). Tenemos que

(AB)( B^(-1) A^(-1))=A(〖BB〗^(-1))A^(-1)=AIA^(-1)=〖AA〗^(-1)=I

( B^(-1) A^(-1))(AB)=B^(-1) (A^(-1) A)B=B^(-1)IB=B^(-1) B=I

Como A es invertible. 〖AA〗^(-1)=I= A^(-1)ª. Esto demuestra que A^(-1) también lo es, y 〖(A〗^(-1) )^(-1)=A.

Esta demostración se deja como ejercicio.

Observación

Si A_1, A_2,…, A_(n-1),A_n son invertible y del mismo tamaño, también lo es el producto A_1, A_2,…, A_(n-1),A_n. Su inversa es

〖(A〗_1, A_2,…, A_(n-1),A_n )^(-1)= A_n^(-1) A_(-n)^(-1) … A_2^(-1) A_1^(-1)

c

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