Matricez

1. DEFINICIÓN DE MATRIZ

Se puede definir una matriz, como un conjunto de elementos (números) ordenados en filas y columnas.

Para designar una matriz se emplean letras mayúsculas. Cada uno de los elementos de la matriz (aij) tiene dos subíndices. El primero i indica la fila a la que pertenece y el segundo j la columna.

Esta es una matriz de m filas y n columnas, es decir, de dimensión m x n. Esta matriz también se puede representar de la forma siguiente: A = (aij) m x n.

Si el número de filas y de columnas es igual ( m = n ), entonces se dice que la matriz es de orden n.

Unidad 8. Matrices

• CARACTERÍSTICAS GENERALES.

• ÁLGEBRA DE MATRICES:

• SUMA DE MATRICES.

• PRODUCTO “R n”

• PRODUCTO DE MATRICES.

• TIPOS DE MATRICES:

• MATRIZ CUADRADA DE ORDEN n

• MATRIZ INVERSA DEL PRODUCTO.

• MATRIZ DIAGONAL.

• MATRIZ TRIANGULAR.

• MATRIZ SIMÉTRICA.

• MATRIZ ANTI-SIMÉTRICA.

• CÁLCULO DE RANGOS.

• CARACTERÍSTICAS GENERALES:

Definición: una matriz es un conjunto ordenado de elementos que están dispuestos en filas y en columnas, intersecándose para relacionar dichos elementos. Una matriz de números reales de m filas y n columnas es, por definición, el siguiente esquema:

, donde cada elemento : i representa la fila y tiene un valor comprendido entre 1 y m; jrepresenta la columna y tiene un valor comprendido entre 1 y n. En intérvalos,

Así, cuando una matriz consta de m filas y n columnas se dice que la matriz es de tipo . Por tanto, se designa por al conjunto de las matrices de números reales.

CONSTRUCCIÓN DE UNA MATRIZ:

El concepto de matriz está estrechamente relacionado con los sistemas de ecuaciones; es por esto que enuncio esta unidad justo después de haber estudiado los sistemas de ecuaciones. Para explicar este hecho nos basamos en el siguiente ejemplo, ya que resulta más sencillo un ejemplo que la teoría:

En una papelería, un cliente compra cuatro bolígrafos y tres rotuladores por un total de 293 pesetas. Otro se lleva dos bolígrafos y cinco rotuladores por 339 pesetas. ¿Cuánto vale cada artículo?

Se trata de un problema muy típico, que puede resolverse mediante el planteamiento y la resolución de un sistema de ecuaciones de dos incógnitas y dos ecuaciones:

Las incógnitas x e y juegan un papel pasivo, pues las operaciones con ecuaciones consisten en operar con los coeficientes de estas incógnitas y con el término independiente. Así, una forma de esquematizar este “proceso” consiste en escribir entre paréntesis los números que intervienen en las operaciones de la siguiente forma; prescindiendo de incógnitas:

Así se construye una matriz matemática. En este caso, la matriz está compuesta por dos filas horizontales y tres columnas verticales.

Si ahora multiplicamos la segunda ecuación por dos (método de reducción para despeje de incógnita), y las restamos; obtenemos:

Para acabar el problema, volvemos a escribir el sistema y despejamos la incógnita:

Así hemos obtenido que cada bolígrafo cuesta 32 pesetas y cada rotulado, 55.

• ÁLGEBRA DE MATRICES:

Es importante destacar que el conjunto de las matrices que son del tipo forman unas estructuras determinadas con las operaciones de la suma y del producto.

• SUMA DE MATRICES:

Sean dos matrices del tipo A y B:

Por definición, la suma de A y B es la matriz que se obtiene sumando cada elemento de A con su correspondiente elemento de B, así:

El conjunto de las matrices de tipo con la suma tiene estructura de cuerpo conmutativo. Mi apoyo de la afirmación anterior la saco de laspropiedades más importantes de la suma de matrices de tipo :

Propiedad conmutativa: para dos o más matrices cualesquiera A y B, siempre se cumple que A+B=B+A.

Propiedad asociativa: (A+B)+C=A+(B+C).

Elemento neutro: existe elemento neutro, una matriz 0 tal que para todas la matriz A se verifica lo siguiente: A+0=0+A=A. La matriz 0 posee todos sus elementos igualados a cero y se denomina matriz nula de tipo .

Elemento simétrico: existe elemento simétrico para toda la matriz A, que es . Además se cumple que . La matriz -A de A es aquélla que posee los mismos elementos pero cambiados de signo, todos ellos.

• PRODUCTO DE UN Nº REAL POR UNA MATRIZ:

Si consideramos r un nº real y A una matriz de tipo , se verifica que el producto de r por A es la matriz de tipo que se obtiene al multiplicar r por cada uno de los elementos de A:

Destaquemos ahora las propiedades más importantes del producto de un número real por una matriz:

Asociativa: para dos números reales cualesquiera r, s y una matriz A de tipo cualquiera se verifica que

Doble distributiva: para un número real cualquiera r y dos matrices cualesquiera A, B de tipo se verifica que:

Además, para dos números cualesquiera r, s y cualquier matriz A del tipo se verifica que:

Elemento unidad: siendo 1 el elemento neutro del producto de números reales, ocurre que para cualquier matriz A de tipo se verifica que:

Habiendo visto, pues, las propiedades de la suma de matrices y la multiplicación de un número real por una matriz, podemos decir que posee una estructura de R espacio vectorial.

• PRODUCTO DE MATRICES:

Siendo A una matriz de m filas y k columnas, es decir, del tipo y otra matriz B de k filas y n columnas, es decir, del tipo ; por definición el producto de A y B es la matriz del tipo que se obtiene al multiplicar las filas de la matriz A por las columnas de la matriz B. escrito en notación matricial;

Para llevar a cabo un producto de matrices sin cometer errores, es necesario saber que:

El número de columnas de la primera matriz y el número de columnas de la siguiente matriz ha de coincidir.

No se cumple la propiedad conmutativa.

• TIPOS DE MATRICES:

La denominación de la matriz va a depender de la relación y valor entre m y n:

Si , hablamos de una matriz cuadrada de orden n.

Si , hablamos de que la matriz es un vector fila de n componentes.

Si , hablamos de una matriz que es un vector columna de m componentes.

Hablemos ahora de aquellas matrices de uso tan común, aquellas que por su frecuente uso reciben nombres propios o “especiales”:

• MATRIZ CUADRADA DE ORDEN n:

Dos matrices cuadradas del mismo orden siempre se pueden sumar, y cumple todas las propiedades del grupo conmutativo respecto de la suma del conjunto . Siempre se puede efectuar una multiplicación de un nº real por una matriz cuadrada de orden n y también el producto de dos matrices cuadradas de orden n. Veamos las propiedades más importantes:

Asociativa: para tres matrices cuadradas cualesquiera de orden n A, B y C se cumple que

Distributiva: para tres matrices cuadradas cualesquiera de orden n A, B y C se verifica que

Elemento neutro: existe una matriz cuadrada de orden n y s

...