Mecánica del cuerpo rígido - cálculo de momentos en 3D

Coordenadas[pic 1][pic 2][pic 3]

C = (0 , 1 , 14) ft

A = (0 , -3 , 10) ft

B = (0 , -3 , 0) ft

Diagrama de referencia para ubicar las fuerzas de 60 lb (denotaremos los siguientes nombres para diferenciarlas: 60lb´ y 60lb´´)

Y

Generar dcl inicial

Descomposición

→[pic 4]

AB = < 0 , 0 , -80lb >

→

O = < Ox , Oy , Oz >

→

60lb´ = < 60lbcos(45°) , 60lbsen(45°) , 0>

→

60lb´´ = < -60lbcos(45°) , 60lbsen(45°) , 0>

Ecuaciones de equilibrio

∑Fx , ∑Fy , ∑Fz = 0

Ox + 60lbcos(45°) – 60lbcos(45°) = 0        (1)

Oy + 60lbsen(45°) + 60lbsen(45°) =0        (2)

Oz = 80lb        (3)

Resolviendo sistema de ecuaciones De (1)

Ox = 60lbcos(45°) – 60lbcos(45°) → Ox = 0 De (2)

Oy = - 60lbsen(45°) - 60lbsen(45°) → Oy = - 84.8528lb

X

Resultados: Ox = 0 lb

Oy = 84.8528 lb

Oz = 80 lb DCL FINAL:[pic 5][pic 6]

Coordenadas

A = ( - 0.5 , 0 , 0 ) m

B = ( 1 , - 1.5 , 0 ) m

C = ( 1 , 1.5 , 0 ) m

D = ( 0 , 0 , 3 ) m

W = ( 0.5 , 0 , 0 ) m

Vector de posición ( CF – CI )

→        →

Ecuaciones de equilibrio

∑Fx , ∑Fy , ∑Fz = 0[pic 7][pic 8][pic 9][pic 10]

Ax - 2/7TBD – 2/7TCD = 0….(1)

Ay + 3/7TBD – 3/7TCD =0 ….(2)

Az + 6/7TBD + 6/7TCD = 300N ….(3)

Cálculo de momentos

∑MA = 0

Las coordenadas tomadas son desde el punto donde se calculará el momento (A) hasta algún punto que este en la línea de acción de la fuerza.

=

=

=

Sumatoria de componentes unitarias Î , Ĵ , K

-1.2857TBD + 1.2857TCD = 0….(4)

-1.2857TBD - 1.2857TCD = - 300Nm…(5) 0.2142TBD - 0.2142TCD = 0….(6)

Resolviendo sistema de ecuaciones De (6)

TBD = 0.2142TCD / 0.2142 → TBD = TCD..(7)

Sustituyendo (7) en (5)

-1.2857TCD – 1.2857TCD = -300Nm

-2.5714TCD = -300Nm → TCD = -300Nm/-2.5714m TCD = 116.6679N = TBD

Ahora sustituyendo el valor de TCD y TBD en (1) , (2) , (3) , obtendremos:

De (1)

Ax = 2/7(116.6679N) + 2/7(116.6679N) → Ax = 66.6673N

De (2)

Ay = 3/7(116.6679N) – 3/7(116.6679N) → Ay = 0N De (3)

Az = 300N – 6/7(116.6679N) – 6/7(116.6679N) → Az = 100N DCL FINAL:

BD = < -1 , 1.5 , 3 > m        Magnitud →||BD||= √ (-1)² + (1.5)² + (3)² = 3.5 m[pic 11][pic 12][pic 13][pic 14]

→

CD = < - 1 , - 1.5 , 3 > m Magnitud → ||CD||=√ (-1)² + (-1.5)² + (3)² = 3.5 m

[pic 15]

Vector unitario ( componente / magnitud) λBD = < -2/7 , 3/7 , 6/7 >[pic 16]

λCD = < -2/7 , -3/7 , 6/7 >

Descomposición[pic 17]

A = < Ax , Ay , Az > W = < 0 , 0 , -300N>[pic 18][pic 19]

TBD = < -2/7 , 3/7 , 6/7 >TBD TCD = < -2/7 , -3/7 , 6/7 >TCD[pic 20]

Resultados:

Ax = 66.6673N

Ay = 0 N

Az = 100 N

TBD = 116.6679N TCD = 116.6679N

Descomposición[pic 21][pic 22][pic 23][pic 24][pic 25][pic 26]

W = < 0 , 0 , -200lb > A = < Ax , Ay , Az> TBD = < 0 , 0 , TBD>[pic 27][pic 28][pic 29]

TCD = < 0 , -4/5 , 3/5 >TCD[pic 30]

TEF = < 0 , 0 , TEF >

Ecuaciones de equilibrio

∑Fx , ∑Fy , ∑Fz = 0 Ax = 0..(1)

Ay – 4/5TCD = 0….(2)        =

Az + TBD + 3/5TCD + TEF = 200lb….(3)

Cálculo de momentos

∑MA = 0

Coordenadas

B = ( 4 , 0 , 0 ) ft

C = ( 4 , 4 , 0) ft

D = ( 4 , 0 , 3 ) ft

E = ( 2 , 4 , 0 ) ft

F = ( 2 , 4 , 4 ) ft

G = ( 4 , 2 , 0 ) ft

[pic 31]

Vectores de posición (CF - CI)[pic 32]

Esta vez , las coordenadas usadas son las que sacamos al inicio, esto debido a que el origen y el punto donde voy a calcular el momento coinciden.

=

=

=

Sustituyendo Az en (9)

TCD = 50lb – 50lb → TCD = 0lb Sustituyendo TCD en (7)

...