EQUILIBRIO DE CUERPOS RIGIDOS

EQUILIBRIO DE CUERPOS RIGIDOS

SESION N0 30

• PREGUNTAS CON RESPUESTA

Pregunta 1

¿En cuál de las siguientes figuras se cumplen las condiciones de equilibrio estático? El eje de rotación ∙ es perpendicular a las figuras.

1.  b)     c)   [pic 1][pic 2][pic 3]

La figura a satisface la primera condición de equilibrio ya que la fuerza total es igual a cero y si el cuerpo está en reposo no tiene la tendencia a moverse como un todo, sin embargo, hay un torque total distinto de cero en el sentido horario alrededor del eje. La figura c satisface la segunda condición de equilibrio puesto que el torque alrededor del eje es cero y el cuerpo en reposo no tiene la tendencia de empezar a girar, pero hay una fuerza neta F hacia arriba que haría que el cuerpo en reposo empezara a moverse. En la figura b tanto la fuerza total como el torque total son cero, por lo que el cuerpo en reposo ni tiene la tendencia a moverse como un todo ni tiene la tendencia de empezar a girar.

Pregunta 2

¿Cuáles de las situaciones siguientes satisfacen las dos condiciones de equilibrio?

1. una gaviota que planea con un ángulo constante bajo la horizontal y mantiene su rapidez constante
2. el cigüeñal del motor de un automóvil estacionado que gira con rapidez angular creciente
3. una pelota de béisbol lanzada que no gira al desplazarse por el aire

La gaviota satisface las dos condiciones de equilibrio ya que tiene aceleración nula () y como el ángulo es constante no tiene tendencia a comenzar a girar (). El cigüeñal no tiene tendencia a desplazarse como un todo () pero tiene aceleración angular por lo que . La pelota de baseball no gira () pero al estar acelerada por la gravedad .[pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8][pic 9]

Pregunta 3

Una roca se une al extremo izquierdo de un metro uniforme que tiene la misma masa que la roca. Para equilibrar la combinación de roca y metro en la cúspide del objeto triangular de la figura, ¿qué tan lejos del extremo izquierdo del metro debería colocarse el objeto triangular?[pic 10]

Respuesta:

ii). Para que la combinación roca-metro esté en equilibrio el objeto triangular debe colocarse en el centro de gravedad de la misma. Siendo el metro uniforme su centro de gravedad está a 0.5 m de su extremo izquierdo, mientras que el centro de gravedad de la roca estará a 0 m del extremo izquierdo del metro. Como ambos cuerpos tienen el mismo peso el centro de gravedad de la combinación debe estar equidistante entre ellas, (0 m + 0.5 m)/2 = 0.25 m

PROBLEMAS RESUELTOS

Problema 1

El centro de gravedad de un objeto irregular de 5 g se muestra en la figura. Usted necesita mover el centro de gravedad 2.20 cm a la izquierda pegándole una masa pequeña de 1.50 g, la cual por ende se considerará como parte del objeto. ¿Dónde debería pegar esta masa adicional?[pic 11]

Apliquemos la ecuación para calcular [pic 12] al objeto compuesto. Tomemos coordenadas de manera que el origen este en el centro de gravedad original del objeto y[pic 13] está a la derecha. Agregando la masa de 1.50 g:

[pic 14] [pic 15], [pic 16],[pic 17]

[pic 18] 

[pic 19]

La masa adicional debe colocarse 9.53 cm a la izquierda del centro de gravedad original. El  nuevo centro de gravedad está en una posición entre la masa añadida y el centro de gravedad original.

Problema 2

Se usa un martillo de uña para sacar un clavo de una tabla (ver figura). El clavo forma un ángulo de 60° con la tabla, y se necesita una fuerza de 400 N aplicada al clavo para sacarlo. La cabeza del martillo toca la tabla en el punto A, que está a 0.080 m de donde el clavo entra en la tabla. Se aplica una fuerza horizontal F2 al mango del martillo a una altura de 0.300 m sobre la tabla. ¿Qué magnitud debe tener F2 para aplicar al clavo la fuerza requerida F1 de 400 N? (Se puede despreciar el peso del martillo.)[pic 20]

Sea F1, la fuerza que ejerce el martillo sobre el clavo, por la tercera ley de Newton, la fuerza par será F`1, esta fuerza es contraria al sentido de F1. Apliquemos [pic 21] al martillo. Tomemos el eje de rotación en el punto A. La fuerza [pic 22] está dirigida a lo largo del clavo y por lo tanto su brazo de palanca es [pic 23] El brazo de palanca de [pic 24] es [pic 25] por lo tanto:

[pic 26]

[pic 27]

Debido a la gran diferencia entre los brazos de palanca la fuerza [pic 28] que debe aplicarse al martillo es mucho menor que la fuerza que el martillo aplica al clavo.[pic 29]

Problema 3

Suponga que usted inaugura un restaurante y espera atraer a sus clientes colgando un letrero en el exterior (ver figura). La viga horizontal uniforme que sostiene el letrero tiene 1.50 m de longitud y masa de 12.0 kg, y está sujeta a la pared mediante una bisagra. El letrero es uniforme con masa de 28.0 kg y longitud de 1.20 m. Los dos alambres que sostienen el letrero tienen una longitud de 32.0 cm cada uno, están separados 90 cm y están igualmente espaciados con respecto al punto medio del letrero. El cable que sostiene la viga tiene 2.00 m de longitud. a) ¿Qué tensión mínima debe soportar el cable sin que se caiga el letrero? b) ¿Qué fuerza vertical mínima debe soportar la bisagra sin salirse de la pared?

El diagrama de cuerpo libre de la viga horizontal se muestra en la figura. Apliquemos las condiciones de equilibrio a la viga horizontal. Como los alambres están colocados simétricamente a ambos lados de la mitad del cartel sus tensiones son idénticas e iguales a [pic 31] [pic 32] y [pic 33] son las fuerzas vertical y horizontal ejercidas por la bisagra. Como el cable tiene una longitud de 2.00 m y la viga horizontal tiene una longitud de 1.50 m, [pic 34]y [pic 35] Las componentes horizontal y vertical de la tensión [pic 36] en el cable se muestran en la figura.

(a) De[pic 37] obtenemos

[pic 38] [pic 39]

(b) De [pic 40] obtenemos

[pic 41][pic 42]

La bisagra debe ser capaz de soportar una fuerza vertical de 141 N. Las fuerzas de los dos alambres pueden ser reemplazadas por el peso del cartel aplicado en un punto 0.60 m a la izquierda del borde derecho del cartel.

Problema 4

Un cilindro sólido uniforme de masa M se apoya sobre una rampa que se eleva con un ángulo θ por encima de la horizontal, mediante un alambre que se enrolla alrededor de su borde y tira de él tangencial y paralelamente a la rampa (ver figura). a) Demuestre que debe haber fricción en la superficie para que el cilindro se equilibre de esta manera. b) Demuestre que la tensión en el alambre debe ser igual a la fuerza de fricción y calcule esta tensión.[pic 43]

El diagrama de cuerpo libre del cilindro de radio R se muestra en la figura. El centro de gravedad del cilindro está en su centro geométrico. Aplicamos las condiciones de equilibrio al cilindro.[pic 44]

(a) T produce un torque en el sentido horario alrededor del eje que pasa por el centro de gravedad por lo que debe haber una fuerza de fricción que produzca un torque en el sentido anti horario alrededor del mismo eje.

(b) Aplicando [pic 45] a un eje en el centro de gravedad tenemos

−TR + fR = 0, por lo que T = f

Aplicando [pic 46] a un eje en el punto de contacto entre el cilindro y la rampa tenemos

−T(2R) + MgRsinθ = 0, por lo que T = (Mg/2)sinθ

TAREA PARA LA SESION 30

• PREGUNTAS PROPUESTAS

Pregunta 1

¿Qué condición o condiciones son necesarias para el equilibrio tanto de rotación como de traslación?

a)        [pic 47]

b)        [pic 48]

c)         donde  es el Momento de Torsión[pic 49][pic 50]

d)        [pic 51]

e)        [pic 52]

Pregunta 2

Un momento de torsión neto igual a cero

a)        producirá un cambio en el momento angular

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