Mecánica

Serie Binomial

Tenemos la peste dar las gracias por el teorema del binomio! En 1665, la peste hacía estragos en Inglaterra, e Isaac Newton, un nuevo (y mediocre) graduado de la Universidad de Cambridge, se vio obligado a pasar la mayor parte de los próximos dos años en la relativa seguridad del país mansión de su familia en Woolsthorpe.

Resultó que la soledad y el tiempo libre era sólo el cerebro creativo del estimulo de Newton es necesario. En ese período de 18 meses de retiro, él subió con su prueba y extensión del teorema del binomio, inventó el cálculo (que él llamó su "método de fluxiones"), descubrió la ley de la gravitación universal, y demostró que la luz blanca se compone de todos los colores. Todo esto antes de cumplir los 25!

Newton no fue el primero en describir una fórmula para la expansión binomial, o multiplicar cualquier expresión de la forma (a + b) n. Sabemos, por ejemplo, que un matemático islámico llamado al-Karaji (m. 1029) construyó una tabla de coeficientes binomiales hasta (a + b) 5 (es decir, el triángulo dePascal), y más tarde los matemáticos musulmanes le atribuye el descubrimiento de la fórmula para el desarrollo de (a + b) n. Por otra parte, en una obra hoy perdida, Omar Khayyam (1048-1131), aparentemente dio un método para encontrar n º raíces basadas en la expansión binomial y coeficientes binomiales.

Los matemáticos indios y chinos antiguos también sabían el teorema del binomio. Y en Europa, ya un siglo antes del nacimiento de Newton, de Blaise Pascal Tratado del Triángulo Aritmético proporciona una forma práctica de generar los coeficientes binomiales. Todos estos métodos para la expansión binomial, sin embargo, sólo funcionan para valores enteros positivos de n.

Lo que Newton descubrió fue una fórmula para (a + b) n que funcione para todos los valores de n, incluyendo fracciones y negativos:

(a + b) n = a n + na n-1 b + [n (n-1) un n-2 b 2] / 2! + [N (n-1) (n-2) un n-3 b 3] / 3! +. . . + B n

Para -1

Genio matemático de Newton no era evidente cuando él era un niño. Cuando era niño, Newton había sido un poco de un manitas, pero sus estudios en el Trinity College de Cambridge, fueron en gran parte centrada en la ley. Se dice que se interesó por las matemáticas sólo en 1663, cuando él cogió un libro de astrología en una feria local y no podía entender las matemáticas en el libro. Eso le llevó a leer la trigonometría (que tampoco podía entender) y, finalmente, de nuevo a de EuclidesElementos. Un profesor de Cambridge en 1664 pronunció su dominio de Euclides insuficiente, sin embargo. Obviamente, Newton hizo un gran progreso en muy poco tiempo.

2.3 Cálculo de Pi (continúa)

Binomial Serie de Newton

En 1665, Isaac Newton leyó de Wallis Arithmetica infinitorum en el que explica cómo derivar la identidad del producto. Esto llevó a Newton a un descubrimiento aún más importante. Describió el proceso en una carta a Godofredo Leibniz escrito en 24 de octubre 1676.

El punto de partida fue tanto generalizar y simplificar Wallis de integral. Newton miró Cuando m es un entero par, podemos utilizar la expansión binomial para producir un polinomio en x:[pic 1]

[pic 2]

¿Qué sucede cuando m es un entero impar? ¿Es posible interpolar entre estos polinomios? Si es así, entonces podríamos dejar que m= 1 y x = 1 y obtenemos una expresión para / 4.[pic 3]

Newton se dio cuenta de que el problema se reduce a la ampliación  como un polinomio en y luego la integración de cada término. ¿Podría esto ser hecho cuando m es un entero impar?[pic 4][pic 5]

Jugando con los patrones que él descubrió, se topó con el hecho de que no sólo podía encontrar una expansión para el binomio cuando el exponente es m / 2, soy raro, él podría conseguir la expansión con cualquier exponente. A menos que el exponente es un entero positivo, la expansión es una serie infinita.

En el capítulo 4, veremos si esta expansión también es válido en x = 1 o -1.

Descubrimiento de la serie binomial de Newton

Siguiendo los pasos de Wallis, Newton reconoció que la clave para el cálculo  fue encontrar una forma de evaluar  si que eran exponente un número entero en lugar del medio, la vida sería fácil. Como Wallis, Newton comienza comparando lo que tiene que lo que puede evaluar. Mira a las expansiones de  los valores enteros de m.[pic 7][pic 8][pic 9]

[pic 10]

A su juicio, una tabla de los cofficients y trató de adivinar qué coeficientes corresponderían a un exponente de m = 1/2.

Es fácil adivinar que los valores de la primera columna son todos 1, y los valores de la segunda columna debe ser igual a m. ¿Qué hay de la tercera columna?

Newton habría sido muy familiarizados con la secuencia 1, 3, 6, 10, ..., los números triangulares. El j ésimo número triangular es la suma de los números enteros de 1 a j, y es igual a j (j 1) / 2. El exponente m corresponde a la (m - 1) número triangular st, por lo que la fórmula para uso en la tercera columna es m (m - 1) / 2.

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