Metodo Secante Y Newton

Método secante

Los métodos de secante toman dos puntos, xp y xq y resuelve una ecuación similar a la dada en el método de Newton:

F’ (xk)+m(x-xk)=0

Donde m es la pendiente de la línea que conecta xp con xq dada por:

m= (f^' (x^q )-f'(x^p))/(x^q 〖-x〗^p )

El método de la secante aproxima la segunda derivada por una línea recta. Cuando xq→xp el valor de m se aproximará al valor de la segunda derivada. En este sentido el método de la secante se podría considerar también un método cuasi Newton. Admitiendo que la función es unimodal, el método comienza con dos puntos cualquiera del intervalo de tal manera que la primera derivada tenga signos diferentes. Calculando el cero de la ecuación de partida se obtiene:

X*=Xp-(f^' (x^q )(x^q 〖-x〗^p))/([f^' (x^q )-f'(x^p)])

Los dos puntos seleccionados para el paso siguiente son x* y xp o xp de los signos de f^' (x^q ) y de f'(x^p) con respecto al de f^' (x^* ).

El método de la secante parece bastante “crudo” pero funciona bastante bien en la práctica. El orden de convergencia para funciones de una sola variable es de (1+√5)/2≈1.6, Su convergencia es ligeramente menor que la del método de Newton de diferencias finitas, pero en muchas ocasiones funciona mejor que este en lo que a número de evaluaciones de la función objetivo se refiere.

Ejercicio:

Método de newton

Al igual que en el caso de una variable nos podemos plantear de nuevo las cuestiones relativas al orden y a la velocidad de convergencia. La definicion de orden de convergencia para las sucesiones vectoriales es idéntica a las reales sin más que sustituir:

(lim)┬(n→∞)⁡|e_(n+1) |/|e_n |p por(lim)┬(n→∞) |(|e_(n+1) |)|/|〖|e〗_n ||/〖||e〗_n ||p

En estas condiciones, tiene perfecto sentido plantearnos la posibilidad de generalizar el método de Newton-Raphson. Es posible introducir este método imponiendo condiciones sobre la función de iteración que garanticen la convergencia cuadrática de modo similar a como se realizó en el caso de una variable.

El el caso de una variable, para resolver una ecuación F(x)=0, en el método de Newton se construye un proceso iterativo de la forma:

X(x+1) =x (m) - f(x^m )/(f'(x^m ).) (2)

En el caso de varias variables, la derivada de la función se sustituye por su matriz ´

Jacobiana, de manera que (2) se transforma en:

X(m+1) =x (m) - Jf-1 (x^m )f(x^m ) (3)

Donde Jf es la matriz jacobianas de f :

Jf(x)= φfi(x)/(φx_j )

No detallaremos en este caso un resultado sobre convergencia global por su complejidad y su escasa utilidad desde un punto de vista práctico, pero si señalaremos que si f tiene derivadas parciales segundas continuas en un entorno de la raíz y además su Jacobiano no se anula en dicho entorno, se puede garantizar la convergencia del método de Newton-Raphson y además dicha convergencia es cuadrática.

Para hacer los cálculos del m método de Newton, no se requiere invertir la matriz jacobiana en cada iteración, sino que suele usarse la relación

Jf (x^((m)) )(X(m+1)- x^((m)))=-f(x^((m))) (4)

Entonces si conocemos x^((m)), usamos 4 para hallar ⌂xm+1= X(m+1)- x (m) , de donde obtenemos:

X(m+1)= x (m) + ⌂xm+1

A continuación, hallemos las f formulas explıcitas del método en el caso de dos variables. Utilizamos notación de subíndice para las derivadas parciales con el objeto de implicar las expresiones. En el caso

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