Método de Newton

Método de Newton

Si es definida positiva (o definida negativa) para todo , el algoritmo converge rápidamente. Esta convergencia está garantizada independiente del valor de sólo si es estrictamente convexa (cóncava).

En la realidad, sin embargo, la convergencia es a menudo alcanzada para la mayoría de las funciones si se escoge un punto de partida aceptable.

Una desventaja de este método es que éste requiere cálculos de la segunda derivada parcial de en cada iteración. Si es cuadrática, la matriz Hessiana no es función de , y por lo tanto es una matriz constante para todas las iteraciones. Computacionalmente, es muy deseable no calcular en cada iteración. Por esta razón, funciones no lineales son a menudo aproximadas por formas cuadráticas para el propósito de determinar puntos estacionarios.

Minimizar

=

Algoritmo de Newton

Dada una aproximación inicial , una tolerancia y un número máximo de iteraciones , para

, hacer

Paso 1. Definir

Paso 2. Resolver para el sistema de ecuaciones lineales:

Paso 3. Calcular

Paso 4. Si entonces es una aproximación al punto crítico. Si no, hacer y volver al paso 2.

Ejemplo

Maximizar

Resolviendo el sistema de ecuaciones

Comenzar con la aproximación inicial:

k 0 1 2 3

0 0.75 0.975 0.999695

0 0 0 0

Comenzar con la aproximación inicial:

k 0 1 2 3 4 5

15 8.538 5.3457 3.8229 3.185527 3.014517

10 0 0 0 0 0

Ejercicios

1) Maximizar

...