Método de Newton.

Resumen. Matemática es una ciencia que en si conlleva múltiples incertidumbres a problemas propuestos uno de los problemas básicos es resolver ecuaciones. El método de newton es una técnica de aproximación a la solución de una ecuación . Utiliza técnicas con el uso de rectas tangentes en lugar de la gráfica de  cerca de los puntos donde f es cero o definida como un algoritmo eficiente para encontrar aproximaciones de ceros o raíces de una función real. Se parte de  un valor inicial que se introduce en una expresión relacionada con la ecuación, obteniendo así un resultado, este se introduce en la misma expresión obteniendo un nuevo resultado y así sucesivamente hasta aproximarnos a la solución real mucho mejor a la que tuvimos inicialmente.[pic 1][pic 2]

Palabras Claves: Método de Newton, aproximación lineal, algoritmo, tangente, ecuación no lineal.

Abstract: Mathematics is a science that involves multiple uncertainties if problems posed one of the basic problems is to solve equations. Newton's method is a technique of approach to the solution of an equation . Use techniques using tangents instead of the graph of  near the points where f is zero or defined as an efficient algorithm for finding approximations of zeros or roots of a real function. It starts from an initial value that is inserted into an expression related to the equation, thus obtaining a result, this is inserted into the same expression obtaining a new result and so on to approach the better real solution which initially had.[pic 3][pic 4]

Keywords: Newton method, linear approximation, algorithm, tangent, Non-linear equation.

1. Introducción.

En el presente trabajo se trata de definir con puntos claros y concisos el método de Newton y su importancia en las matemáticas en resolver ecuaciones. Newton fue un hombre reservado por lo que lo familiarizamos con la ley de la gravedad, sin embargo entre sus logros colosales se encuentra el cálculo y el  método que lleva su nombre. El método de Newton Raphson es un método que nos permite aproximar la solución de una ecuación del tipo . Partimos de una estimación inicial de la solución x0 y construimos una sucesión de aproximaciones de forma recurrente mediante la fórmula.[pic 5]

Aunque no sea siempre el mejor método para un problema dado, su simplicidad formal y su rapidez de aproximación hacen que, con frecuencia, sea el primer algoritmo que se usa para la resolución de un problema no lineal.

2. Objetivos:

• Dar a conocer el método de Newton.

• Analizar y desarrollar el método de Newton desde su forma más sencilla.

• Aprender a resolver problemas matemáticos básicos de ecuaciones mediante la aplicación del método de Newton.

3. Desarrollo del trabajo

Historia.

Newton fue un físico, matemático, astrónomo, filósofo ingles que nació en el año de 1642 y murió en 1727. Fue un hombre discreto que guardo sus descubrimientos para sí mismo, ya que no tenía interés en publicarlos y la mayor parte de sus obras fueron robadas por sus persistentes compañeros de trabajo; a Newton se debe el cálculo de raíces de una función o ecuación por aproximaciones sucesivas usando tangentes entre sus obras más importantes que ayudo a resolver dificultades de muchos científicos.

Entre sus múltiples trabajos investigativos invento un método llamado método de Newton Raphson o el método de Newton Fourier que trata de un algoritmo eficiente para encontrar aproximaciones de los ceros o raíces de una función real como también encontrar máximo o mínimo de una función encontrando los ceros de su primera derivada este método solo se aplica en polinomios.

El método de Newton fue encontrado en un manuscrito realizado por Isaac Newton el cual se denomina “De analysi per aequationes numero terminorum infinitas”, escrito en 1669, publicado en 1711 por William Jones y en “De metodis fluxionum et serierum infinitarum”, escrito en 1671, traducido y publicado como Método de fluxiones en 1736 por John Colson.

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Figura 1. Páginas de De Analysi  donde Newton expone su método.

Aplicaciones del método de Newton.

Una de las aplicaciones más importantes que ha tenido el método de Newton es para resolver la llamada ecuación de Kepler, otro ejemplo importante del método de Newton, el lanzamiento de un proyectil. Si   es la trayectoria, para hallar el alcance de un disparo debemos hallar t, el tiempo tal que .[pic 7][pic 8]

¿Quién invento el método de Newton?

Fue el físico matemático astrónomo y filósofo ingles Isaac Newton.

¿Por qué creo el método?

Uno de los problemas básicos de las matemáticas es resolver ecuaciones no lineales.

¿Cuándo invento el método de Newton?

El primer escrito de este método fue un manuscrito de Newton, el cual entregó a su mentor Isaac Barrow en 1669.

¿Para qué invento el método de Newton?

Lo utilizaba para hallar soluciones de ecuaciones no lineales y luego para invertir series de potencias y así desarrollar su cálculo. 

Descripción del Método de Newton.

El Método de Newton tiene una interpretación geométrica sencilla, consiste en una linealización de la función, es decir, f se reemplaza por una recta tal que contiene al punto  y cuya pendiente coincide con la derivada de la función en el punto, . La nueva aproximación a la raíz , se obtiene de la intersección de la función lineal con el eje X de ordenadas.[pic 9][pic 10][pic 11]

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