METODO DE LA SECANTE

CALCULO MATEMATICO

AVANZADO

TEMA

“METODO DE LA SECANTE”

DOCENTE: Arquímedes Barro Horna

INTEGRANTES

Mercedes Álvarez Calderón

Haydee Pino Blanco

Luis Zapata Negreiros

TRUJILLO, 2015

INDICE

1.0 Definición 3

2.0 Deducción del Método 3

3.0 Comparación con Otros Métodos 5

4.0 Ventajas y Desventajas 6

5.0 Ejemplo de Aplicación 6

6.0 Recomendaciones 8

Bibliografía 8

1.00 DEFINICION

Es un método de tipo abierto, el cual requiere de dos puntos iniciales, los cuales pueden ser arbitrarios. Lo que hace básicamente, es trazar rectas secantes a la curva de la ecuación que se está analizando, y verificar la intersección de dichas rectas con el eje de las X para conocer si es la raíz que se busca.

Es una variación del método de Newton-Raphson donde en vez de calcular la derivada de la función en el punto de estudio, teniendo en mente la definición de derivada, se aproxima la pendiente a la recta que une la función evaluada en el punto de estudio y en el punto de la iteración anterior.

Este método es de especial interés cuando tiempo y dificultad de derivar la función de estudio y evaluarla es demasiado elevado, por lo que el método de Newton no resulta atractivo.

En otras palabras, el método de la secante es un algoritmo de la raíz de investigación que utiliza una serie de raíces de las líneas secantes para aproximar mejor la raíz de una función f. El método de la secante se puede considerar como una aproximación en diferencias finitas del método de Newton-Raphson. Sin embargo, este método fue desarrollado independientemente de este último.

2.00 DEDUCCION DEL METODO

El método se basa en obtener la ecuación de la recta que pasa por los puntos (xn−1, f (xn−1)) y (xn, f (xn)). A dicha recta se le llama secante por cortar la gráfica de la función. En la imagen de arriba a la derecha se toman los puntos iniciales x0 y x1, se construye una línea por los puntos (x0, f(x0)) y (x1, f(x1)). En forma punto-pendiente, esta línea tiene la ecuación mostrada anteriormente. Posteriormente se escoge como siguiente elemento de la relación de recurrencia, xn+1, la intersección de la recta secante con el eje de abscisas obteniendo la fórmula, y un nuevo valor. Seguimos este proceso, hasta llegar a un nivel suficientemente alto de precisión (una diferencia lo suficientemente pequeñas entre xn y xn-1).

Por relación de triángulos:

(f(X_n )-f(X_(n-1) ))/(X_n-X_(n-1) ) =(f(X_n))/(X_n-X_(n+1) )

Despejando Xn+1:

X_n-X_(n+1)=((X_n-X_(n-1))(f(X_n )))/(f(X_n )-f(X_(n-1) ) )

Nos da la Ecuación solución del método:

X_(n+1)=X_n- ((X_n-X_(n-1))(f(X_n )))/(f(X_n )-f(X_(n-1) ) )

Es una variación del método de Newton-Raphson donde en vez de calcular la derivada de la función en el punto de estudio, teniendo en mente la definición de derivada, se aproxima la pendiente a la recta que une la función evaluada en el punto de estudio y en el punto de la iteración anterior.

3.00 COMPARACION CON OTROS METODOS

El método de bisección: necesita de muchas iteraciones comparado con el método de la secante, ya que el proceso que éste sigue es mucho más preciso que el de bisección, el cual solo divide por mitades sucesivamente hasta dar con un valor aproximado al real y por consecuente conlleva un número significativamente mayor de iteraciones.

El método de la regla falsa: utiliza la misma fórmula que el método de la secante. Sin embargo, no se aplica la fórmula en xn−1 y xn, como el método de la secante, pero en xn y en la última iteración xk tal que f (xk) y f (xn) tiene un signo diferente. Esto significa que

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