Metodo de Derivacion Grafica

Sistemas de Representación

TRABAJO PRÁCTICO INTEGRADOR:

“Método de Derivación Grafica”

Carrera: Ingeniería Electrónica

Docentes: Ing. Guillermo Verger

Comisión: 630

Alumnos:  - Campero, Gustavo (C-6428/9)
                  - Allione, Joaquin (A-4007/1)

Año: 2015

OBJETIVOS DEL TRABAJO:

El objetivo de este trabajo práctico es estudiar un método grafico para aproximar la gráfica de la función derivada de una función dada, así como también sus aplicaciones en problemas prácticos, analizando los resultados obtenidos mediante el método en estudio y los resultados analíticos, para determinar cuan precisa es la aproximación. Así como también estudiar y analizar ciertas características propias de la derivación gráfica.

ENUNCIADO DEL PROBLEMA:

Un cono recto circular se llena con agua a un ritmo de 15 cm³/min. Se pide:[pic 1]

1. Representar gráficamente (y describir analíticamente) la velocidad de subida del nivel de liquido
2. Determinar a qué velocidad sube el nivel de líquido cuando la altura alcanzada es  h = 20

RESOLUCION DEL PROBLEMA

Para comenzar con la resolución del problema planteado en el enunciado de trabajo practico, planteamos la ecuación del volumen de un cono:

[pic 2]

[pic 3]

Nótese que el ángulo que forman las generatrices del cono recto con el plano horizontal es de 45º, esto implica que la altura h va a ser igual que el radio r. En cuyo caso la ecuación quedara determinada por:

[pic 4]

(Si se quiere saber cual es el proceso de generación de un cono véase el ANEXO)

RESOLUCION ANALITICA

Una vez obtenido la ley del volumen del cono en función de la altura…

[pic 5]

…y aplicando la regla de la cadena para derivadas en una variable, nos queda:

[pic 6]

[pic 7]

[pic 8]

[pic 9]

Despejando:

[pic 10]

Ahora que se tiene la ley de la velocidad de subida del nivel de líquido en el cono recto se puede saber qué velocidad tendrá este cuando su altura sea 20 cm:

[pic 11]

METODO DE DERIVACION GRAFICA

Como vimos en cursos posteriores de cálculo, la derivada surge como solución a problemas netamente geométricos, por lo es hallar la ecuación de la recta tangente a una curva en un punto de la misma. Este no representa un gran inconveniente a la hora de hallar la recta tangente  mediante métodos gráficos, ya sea con instrumentos o empleando algún software CAD.

A su vez, aprendimos a hallar la función derivada de una función dada conociendo su ley, procedimiento que resulta fácil aplicando diferentes técnicas de derivación. Pero en la práctica puede ocurrir que existan funciones cuya ley no conocemos o que la gráfica de la función no responda a expresiones matemáticas, son en estos casos donde resulta inherente el uso de métodos gráficos de derivación.

A continuación explicaremos detalladamente como aproximar la gráfica de la derivada de una función:

[pic 12][pic 13]

[pic 14][pic 15]

[pic 16]

[pic 17]

[pic 18]

[pic 19]

[pic 20]

[pic 21]

La grafica que se muestra en el ejemplo corresponde a la función f(x)=x2, sabemos que su derivada es f’(x)=2x, comparando el resultado obtenido mediante la derivación gráfica y la gráfica en GEOGEBRA, notamos que la aproximación es realmente buena tratándose de una función sencilla.

             Derivación gráfica             Software[pic 22][pic 23]

¿Por qué las paralelas a los segmentos de la función deben trazarse a partir del (-1;0)?

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