Mi trabajo- Calculo

1. Reglas para la derivación de funciones algebraicas

A partir del método general es posible  determinar las formulas necesarias para calcular las derivadas de funciones algebraicas.

Para simplificar estas operaciones se comienza por tomar como punto de partida la expresión de la derivada como el límite entre los incrementos x e y:

[pic 1]

Al aplicar esta expresión se obtienen las fórmulas para la derivación de funciones algebraicas.

1. Derivación de una variable elevada a una potencia

• Para una variable "x" elevada a una potencia "n" 

Si f(x)= x, su derivada es f´(x)=nx

Ejemplo: f(x)= x, su derivada es f´(x)= 3x

• Para una constante "a" por una variable "x" elevada a una potencia "n"
  Si f(x)= ax , su derivada es f´(x)= anx

Ejemplo: f(x)= 4x, su derivada es f´(x)= 8x

1. Derivada de la suma

Si f y g son diferenciables en el punto x a , entonces:

[pic 2]

La derivada de una suma es la suma de las derivadas, también se dice que la derivada abre sumas.

Ejemplo: Deriva las funciones:

[pic 3]

Solución.

[pic 4]

Sean f y g dos funciones derivables en x y c una constante, entonces:

[pic 5]

1.  Derivada del producto

Si f y g son diferenciables en el punto x a , entonces:

[pic 6]

Concluimos que la derivada de un producto es:

[pic 7]

Esta regla suele decirse la derivada de un producto es la derivada de la primera función por la segunda más la derivada de la segunda por la primera función.

Posiblemente este resultado sea uno de los más importantes de la derivada de una función (y también el que hace que se utilice más álgebra).

Ejemplo: Calcula la derivada de las funciones siguientes:

[pic 8]

Solución:

1. Sabemos que la derivada de la función 2 x es 2x y que derivada de la función 5 2 3 5 3 x x es 4 15 10 x x , ahora empleando la regla para el producto de dos funciones se tiene que la derivada de la función es:

[pic 9]

1. De igual forma:

[pic 10]

1. . Derivada del cociente

Sean f y g dos funciones derivables en x y f y g . Queremos encontrar y ´. Conocemos la derivada de un producto de funciones, por lo que podemos emplear esa regla si transformamos el cociente anterior a un producto de dos funciones, lo cual es sencillo ya que:

[pic 11]

Ahora aplicamos la regla del producto a la función f, así obtenemos:

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