Momentos De Inercia

Momentos de Inercia

Como un cuerpo tiene forma y tamaño definidos, aplicarles un sistema de fuerzas no concurrentes pude ocasionar que se traslade y gire. Los aspectos translacionales del movimientos estar regidos por la ecuación F=ma .

El Momento de Inercia es una medida de la resistencia de un cuerpo a aceleraciones angulares (M=I∝).

Definimos al momento de inercia como la integral del “segundo momento” con respecto a un eje de todos los elementos de masa dm que constituyen el cuerpo, por ejemplo el momento de inercia de un cuerpo con respecto al eje z .

Aquí el “brazo de momento” r es la distancia perpendicular del eje z al elemento arbitrario dm. Coma la formulación implica a r el valor de I es diferente para cada eje con respecto al cual se formula. El momento de inercia de una masa es siempre una cantidad positiva, las unidades mas usadas para su medición son: kg.m^2 o slug.〖pie〗^2.

Si un cuerpo esta constituido de material con densidad variable ρ=ρ (x,y,z) su masa experimental dm puede ser expresada en términos de su densidad y volumen dm como dm=ρ dv.

Cuando el volumen elemental elegido para efectuar la integración tiene dimensiones infinitesimales, el momento de inercia de un cuerpo debe ser determinado usando una integral triple.

Los elementos tipo cascarón o tipo disco son mas usados para este fin.

Procedimiento de Análisis

Para la integración, consideramos solo cuerpos simétricos que tengan superficies generadas por una curva revolverte con respecto a un eje.

Elemento tipo cascarón

Si un elemento del tipo cascarón de altura z , radio r=y y espesor dy es elegido para efectuar la integración, entonces el volumen es dv=(2πy)(z)dy

Este elemento puede ser usando en las ecuaciones , para calcular el momento de inercia Iz,con respecto al eje z.Ya que todo elemento, debido a su delgadez, se encuentra en la misma distancia perpendicular r=y y del eje z.

Elemento tipo Disco

Si un elemento tipo disco, con radio y y espesor dz, se elige para la integración, entonces el volumen es dv=(ry^2 )dz.

Este elemento es finito en la dirección radial y en consecuencia no todas sus partes se encuentran a la misma distancia radial r del eje z, como resultado las ecuaciones: , ,no pueden ser utilizadas para determinar el momento de inercia directamente .Para efectuar esta integración es necesario determinar primero el momento de inercia del elemento con respecto al eje z y luego integra este resultado.

Teorema

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