Movimientos en tres dimensiones.

Para poder describir un movimiento en dos o tres dimensiones es necesario utilizar las cantidades vectoriales de desplazamiento, posición y velocidad,  comencemos por definir el vector de posición.

El vector de posición de una partícula es un vector trazado desde el origen de un sistema de coordenadas hasta la posición de la partícula.

La posición está dada por los componentes en cada eje, en caso de ser línea recta, usaríamos solo el eje x, cuyo componente se representa por la i, veamos este ejemplo en un grafico, Pedro está en la siguiente posición  significa que está en el punto de origen, pero luego su posición es  significa que se desplazo 5 metros, ahora un ejemplo en dos dimensiones, sobre Pedro hay un avión, lo que significa que su posición en el eje x es de 5 metros, pero esta a una altura de 40m, este eje es Y, el cual describe la altura, por lo tanto el valor en el eje Y es de 40m este componente se representa por la letra J, entonces la posición del avión seria  estos aunque tengan el signo de suma, no se suman por ser diferentes componentes, solo describe la posición de un objeto, y por ultimo tenemos el eje Z,  el cual su componente se representa por la letra K y describe la profundidad de un objeto, en el ejemplo de Pedro también tenemos un pájaro volando a 3m de altura, y se encuentra alejado de Pedro a 10m hacia atrás , digamos que en el eje X tiene el mismo valor, el cual es de 5 metros, entonces su posición se describe de la siguiente manera [pic 1][pic 2][pic 3][pic 4]

Regresemos con Pedro, su posición actual es  pero ahora Pedro comienza a caminar y finalmente su posición es  Con nuestra definición anterior podemos trazar un vector de posición, podemos apreciar que hubo un cambio de posición, este también lo podemos conocer como vector de desplazamiento, el cual está dado   el desplazamiento es de  como son los mismos componentes si se pueden restar, el cual nos da un resultado de   que es nuestro valor del vector de desplazamiento, se aprecia que solo se movió 10m [pic 5][pic 6][pic 7][pic 8][pic 9]

Con este ejemplo, pasemos a otro pero con tres dimensiones, donde no solo encontraremos el valor de su desplazamiento, sino también de su velocidad y posición

Nuestra posición está dada por

[pic 10]

Un ejemplo, inicialmente estas en la siguiente posición: [pic 11]

Después nuestra  posición final es [pic 12]

Y trazamos la línea de la posición inicial hacia la posición final

Y listo, tenemos nuestro vector de posición

Sabemos que el vector de desplazamiento esta dado por

[pic 13]

Colocamos nuestra posición final e inicial y nos queda:

[pic 14]

Al eliminar los paréntesis recuerden que el signo negativo multiplica a los signos de adentro del paréntesis

[pic 15]

Pero recuerden que no ponemos sumar ni restar los componentes diferentes, así que ordenaremos y agrupáramos con su debido componente

)[pic 16]

Tenemos entonces que:

[pic 17]

Solo nos queda restar, y nuestro desplazamiento es:

)[pic 18]

Ahora procedamos a sacar la velocidad media de nuestro cambio de posición

Teniendo en cuenta que la velocidad es la derivada del desplazamiento con respecto al tiempo, el cociente entre el valor de desplazamiento y el intervalo de tiempo , es el vector de velocidad media:[pic 19]

[pic 20]

Sustituyendo el desplazamiento por nuestra formula anterior, nos queda la siguiente manera, como el intervalo de tiempo divide a cada componente, tendremos la velocidad de cada componente

Finalmente nos queda  que la [pic 21]

[pic 22]

La magnitud del vector de la velocidad instantánea estará determinada por

[pic 23]

Ya teniendo nuestras formulas, continuemos con nuestro ejemplo, supongamos que  al llegar a la primera posición habían pasado 3mt, y al llegar al segundo punto llevaban 7mt recorridos, con esto dos datos sacamos el intervalo de tiempo, que es lo que duro en hacer el cambio de posición si el   entonces el tiempo final es 7mt y el tiempo inicial son 3mt, así que tenemos que nuestro intervalo de tiempo es de 4mt que son 240s[pic 24]

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