MÉTODO GRÁFICO

MÉTODO GRÁFICO

La resolución de problemas lineales con sólo dos o tres variables de decisión se puede ilustrar gráficamente, mostrándose como una ayuda visual para comprender muchos de los conceptos y términos que se utilizan y formalizan con métodos de solución más sofisticados, en la realidad rara vez surgen problemas con sólo dos o tres variables de decisión, es sin embargo muy útil esta metodología de solución e interpretación, en la que se verán las situaciones típicas que se pueden dar, como son la existencia de una solución óptima única, de soluciones óptimas alternativas, la no existencia de solución y la no acotación.

fases del procedimiento de solución del Método Gráfico:

1. Dibujar un sistema de coordenadas cartesianas en el que cada variable de decisión esté representada por un eje, con la escala de medida adecuada a su variable asociada.

2. Dibujar en el sistema de coordenadas las restricciones del problema (incluyendo las de no negatividad). Para ello, observamos que si una restricción es una inecuación, define una región que será el semiplano limitado por la línea recta que se tiene al considerar la restricción como una igualdad. Si la restricción fuera una ecuación, la región que define se dibuja como una línea recta. La intersección de todas las regiones determina la región factible o espacio de soluciones (que es un conjunto convexo). Si esta región es no vacía, ir a la fase siguiente. En otro caso, no existe solución que satisfaga (simultáneamente) todas las restricciones y el problema no tiene solución, denominándose no factible.

3. Determinar los puntos extremos (puntos que no están situados en segmentos de línea que unen otros dos puntos del conjunto convexo) de la región factible (que, como probaremos en la siguiente sección, son los candidatos a solución óptima). Evaluar la función objetivo en estos puntos y aquél o aquellos que maximicen (o minimicen) el objetivo, corresponden a las soluciones óptimas del problema.

Ejemplo:

Maximizar Z = f(x,y) = 3x + 2y

sujeto a: 2x + y ≤ 18

2x + 3y ≤ 42

3x + y ≤ 24

x ≥ 0 , y ≥ 0

Solución:

1. Inicialmente se dibuja el sistema de coordenadas asociando a un eje la variable x, y al otro la y, como se puede ver en la figura.

Y

X

Figura 1. Eje de coordenadas

2. Se Marca una escala numérica apropiada de acuerdo con los recorridos de las variables en relación con las restricciones del problema. A continuación se dibujan las restricciones. Comenzando con la primera, se dibuja la recta que se obtiene al considerar la restricción como igualdad. Aparece representada como el segmento que une A con B y la región que delimita ésta restricción viene indicada por el color AMARILLO (ver figura 2). Se repite el proceso de la misma forma con la segunda y tercera restricción, y delimitan la región de color AZUL y ROJO respectivamente (ver figura 3 y 4). La región factible es la intersección de las regiones delimitadas por la terna de restricciones y por las condiciones de no negatividad de las variables, es decir, por la región de valores admisibles limitada por ambos ejes coordenados. La región factible está representada por el polígono convexo O-F-H-G-C, que aparece de color VIOLETA (ver figura 5).

Figura 2. Primera restricción

Figura 3. Segunda restricción

Figura 4. Tercera restricción

Figura 5. Región factible .

3. Ya que la región factible es no vacía (problema factible), procedemos a determinar sus puntos extremos, candidatos a soluciones óptimas, que

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