Metodos graficos

MÉTODOS GRÁFICOS

Como anotamos en la introducción, los experimentos de mayor interés son aquellos encaminados a descubrir la relación entre variables físicas.  Antes de realizar  un experimento cuantitativo hay que agotar la etapa de observación del fenómeno que deseamos estudiar, para determinar cuáles son las variables que intervienen en el fenómeno y luego planear experimentos que nos permitan descubrir las relaciones entre las variables.  Para facilitar este proceso hay que procurar que solo tengamos dos cantidades físicas que varíen e ingeniarnos procedimientos o técnicas experimentales que nos permitan mantener todas las demás cantidades físicas constantes, pues si hay tres variables en un problema o experimento puede ser muy difícil identificar cual es el efecto de cada una de ellas.

Una vez planeado el experimento, o sea una vez que hemos decidido qué cantidades físicas vamos a mantener constantes y cuales vamos a dejar variar, procedemos a hacer una serie de mediciones simultáneas de las dos variables de interés.  Organizar estos datos en una tabla y tratar de inferir alguna relación entre las variables mediante un análisis directo de los datos.  Pero este procedimiento es ineficiente, pues los datos tendrán errores experimentales y es difícil saber si la relación entre las variables es lineal, cuadrática, exponencial o de algún otro tipo.

Las gráficas nos permiten visualizar de golpe una serie de datos y sirven como una orientación inicial en el proceso de búsqueda de una ecuación que nos relacione las variables.  Esta es la razón fundamental para que en el trabajo experimental usemos constantemente las gráficas.

Antes de discutir algunas gráficas y su utilización es conveniente hacer algunas recomendaciones de tipo general sobre la elaboración de gráficas, para que sean de buena calidad y por lo tanto de mayor utilidad.

1. No es necesario que las escalas empiecen  desde cero y vayan hasta el mayor valor de cada una de las variables.  Por ejemplo, si tenemos datos simultáneos de dos variables x y t, cuyos valores fluctúan así:  x desde 150 hasta 250 y t desde 0 hasta 40, la escala para x puede empezar en 150.  De lo contrario solo se usaría una porción pequeña del papel milimetrado y la precisión con que pueden leerse valores y determinarse parámetros, seria menor.  La figura 1 ilustra la forma adecuada de hacer esta gráfica.[pic 1]

1. Las escalas deben ser sencillas, de manera que cada centímetro del papel milimetrado corresponda a 1, 2, 5, 10, 50, 100 etc. unidades de la variable que queremos representar.  Las escalas pueden ser diferentes para los dos ejes de coordenadas y escogidas de tal manera que se aproveche la mayor parte del papel milimetrado.  Si se usan escalas en las cuales 1 cm. representa 3 unidades, será difícil ubicar correctamente los puntos al graficar y también será difícil leer las coordenadas de puntos especiales en el gráfico.

1. Las gráficas deben tener una identificación, un título, que indique lo que la gráfica representa.  Sobre los ejes deben marcarse las variables representadas, indicando las unidades en que se mide cada una de ellas, deben permitir a una persona que no ha realizado el experimento formarse una idea clara de lo que se ha hecho.

1. Los puntos experimentales deben estar claramente identificados, por ejemplo, colocando un pequeño símbolo alrededor del punto, como se ha hecho en la figura anterior.  Si en una misma gráfica se representan varias curvas o relaciones, para varias condiciones experimentales, cada una de ellas deberá  distinguirse con un símbolo distinto: círculo, cuadro, triangulo, cruz, etc.

GRAFICA LINEAL

El tipo más sencillo de gráfica que puede darse es una línea recta.  Cuando la relación entre dos variables es lineal, la gráfica nos permite obtener la ecuación que relaciona las dos variables, esto es, la ecuación de la línea recta.

Con el objeto de precisar mejor algunos puntos que consideramos importantes, haremos uso de un ejemplo concreto.  Supongamos que un experimentador estudia el movimiento de un cuerpo y para hacerlo determina su posición, respecto a un marco o sistema de referencia previamente escogido, cada 2 segundos.  Sus resultados se condensan en la tabla 1, los cuales procede a representar gráficamente, como se indica en la figura 2.

Tabla 1

Es conveniente analizar esta información con un poco de cuidado.  En primer lugar las posiciones se dan en cms, sin indicar milímetros, lo cual implica que las mediciones de posición no eran muy precisar.  Posiblemente el movimiento era relativamente rápido y el observador solo podia ver cual de las divisiones de centímetros estaba mas cerca del cuerpo que se movía y no alcanzaba a precisar los milímetros, ó quizás el experimentador no era muy cuidadoso.

El gráfico de la figura 2 tiende a confirmar estas apreciaciones, puesto que aun cuando la tendencia de los puntos es lineal (y hemos trazado una línea recta) los puntos experimentales presentan una dispersión apreciable respecto a la recta trazada.

Ahora bien, sabemos que la ecuación de una línea recta es de la forma:[pic 2]

        [pic 3],

donde m la pendiente de la recta y b el intercepto.  Por lo tanto si podemos determinar estos dos parámetros: pendiente e intercepto, a partir de la figura 2 podremos encontrar una ecuación que nos represente el movimiento del cuerpo.  El intercepto podemos leerlo directamente del grafico y es aproximadamente de 23 cms.  Para determinar la pendiente tomamos dos puntos que estén sobre la recta y leemos sus coordenadas.  Usando los puntos A y B indicados en la figura 2, tenemos: A(1, 30) y B (11, 109), por lo tanto la pendiente de la recta será:

                                [pic 4],

por lo tanto la ecuación que nos representa la recta trazada en la figura 2 es:

[pic 5], (x en cms. y t en seg.).

Hemos subrayado algunas palabras en la última frase.  ¿Por qué?  Debido a la dispersión de los puntos experimentales otra persona podría haber trazado una recta un poco diferente a la trazado en la figura 2 (urgimos al lector a hacerlo) que también representa bien los puntos experimentales.  Al trazar una recta un poco diferente los valores de la pendiente y el intercepto no serán los mismos que se obtuvieron arriba.

Esto no debe ser sorprendente después de nuestra discusión sobre las cifras significativas en una medición, debemos siempre preguntarnos cuantas cifras significativas tiene cada uno de los valores o parámetros que medidos.  Por ejemplo en el intercepto no usamos decimales, sino que aproximamos al número entero de centímetros más cercano, puesto que las mediciones que se hicieron tenían una misma precisión.  Además la escala escogida para el grafico hace difícil estimar las fracciones de centímetro puesto que cada división corresponde a 10 centímetros.

Pero y ¿qué decir de la pendiente?.  La hemos calculado con tres cifras, pero debemos preguntarnos si todas son o no significativas.  Podemos dar una respuesta a esta pregunta si examinamos con cuidado el procedimiento que hemos seguido para determinar la pendiente.  Hemos determinado un intervalo [pic 6] en el eje vertical y otro intervalo [pic 7] en el eje horizontal.  Para hacer las cosas más simples supongamos que las mediciones de tiempo fueron muy precisas, o sea que la persona determinó la posición exactamente en los instantes indicados en la tabla 1, pero que solo pudo determinar la posición en forma aproximada.  Así el intervalo de tiempo podemos considerarlo como preciso b = 10 seg.  Pero “a” tiene una incertidumbre o error experimental que es, por lo menos, del orden de la dispersión de los puntos con respecto a la recta.  Podemos ahora usar la ecuación ( ) para calcular el error, con lo cual:

                        m=a/b, entonces [pic 8]m/m = [pic 9]a/a + [pic 10]b/b,

por tanto

                        [pic 11]

                        [pic 12]m = 0.038 x 7.90 = 0.30 cm/seg.

La incertidumbre en el intercepto también será del orden de la dispersión de los puntos o sea de 2 o 3 cms., por lo tanto la ecuación que representa el movimiento debería escribirse:

                        x = (7.9  ± 0.3)t + (23 ± 3), (x en cm. y t en seg.),

indicando asi que el experimento no ha sido preciso.

Supongamos que el experimentador decide mejorar sus mediciones usando un método experimental que le permite mejor precisión en la toma de sus datos.  Podría usar una luz estroboscópica que destella a intervalos de tiempo regulares y una cámara que fotografía el cuerpo en movimiento.  Para nuestros fines poco importa cuál sea el método que use, lo importante es que ahora obtiene los datos contenidos en la tabla 2  y que se han graficado en la figura 3.

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