“Mínimos cuadrados y cálculo de aceleración y de gravedad mediante gráficos”

“Mínimos cuadrados y cálculo de aceleración y de gravedad mediante gráficos”

Nicolás Opazo, rol 201951503-9, nicolas.opazoa@usm.cl, LUNES 5-6

Matías Garrido, rol 201923507-9, matias.garridoa@usm.cl, LUNES 5-6

1. Resumen

En este informe estudiamos el cálculo de aceleración a partir de una experiencia en el laboratorio, que consistía en soltar un móvil sobre un plano inclinado y  a través de un software de computador, tomar datos como la velocidad y la aceleración del móvil respecto al tiempo, de esta manera logramos calcular una aceleración en base a la pendiente de nuestro gráfico de velocidad v/s tiempo (0,841±0,009 [m/s²]) con un error relativo porcentual de 1% y una aceleración en base a un promedio de las aceleraciones de nuestro gráfico de aceleración v/s tiempo (0,83±0,05[m/s²]), con un error relativo porcentual de 6%, con estas aceleraciones determinamos la gravedad a partir de una fórmula que involucra el ángulo utilizado del plano inclinado y trigonometría, obteniendo como resultado g = 6,21 ±0,07 [m/s²] con un error relativo porcentual del 35 %. Lo cual es un error relativo muy grande que se puede deber a los errores asociados a datos e instrumentos que serán explicados más adelante.

1. Introducción teórica

         La situación a la que nos enfrentamos en esta experiencia corresponde a un móvil que se suelta en un plano inclinado, esta situación corresponde a un movimiento uniformemente acelerado, esto implica que la aceleración es constante y su velocidad incrementa en función del tiempo. A partir de esto se desprende la siguiente ecuación.

Donde vo = velocidad inicial ; a = aceleración ; t = tiempo.

[pic 3]

A partir de fórmulas obtenidas de las ecuaciones de fuerzas de un diagrama de cuerpo libre en un plano inclinado, (Segunda ley de Newton) tenemos que: , (Serway, Jewett. 2008) de esta ecuación desprendemos que , y que  , ecuaciones que utilizaremos para calcular la gravedad dada una aceleración que será calculada en base a conceptos claves que aprendimos a partir de los gráficos de velocidad y de aceleración. De esta manera, sabemos que la pendiente de nuestra recta en el gráfico de velocidad v/s tiempo, corresponderá a la aceleración, y en nuestro gráfico de aceleración v/s tiempo corresponderá al promedio de los puntos de nuestras aceleraciones. Es importante mencionar que estas medidas (como todas) llevan un error asociado. Este dependerá tanto del instrumento con el que tomamos nuestros datos como del error calculado por la desviación estándar. El error instrumental puede estimarse como:[pic 4][pic 5][pic 6]

• ± de la división más pequeña de la sensibilidad, para instrumentos análogos.[pic 7]
• +1 en el último dígito, para instrumentos digitales.

    Además, informaremos un error relativo porcentual en nuestras medidas, que estará dado por:

[pic 8]

    Donde  corresponde al error asociado a nuestra medida y x corresponde a la magnitud del valor que estamos calculando, en este caso aceleración.[pic 9]

Es importante mencionar que las medidas tomadas deben ser informadas con su respectiva propagación del error, que está dada, para el caso del  por [pic 10]

[pic 11]

y para la gravedad está dada por

.[pic 12]

     Finalmente, y para obtener el error comparativo de la gravedad, utilizaremos la siguiente formula:

[pic 13]

1. Desarrollo Experimental

Al comenzar nuestro experimento se necesitan una serie de materiales que facilitan el trabajo de tomar los datos de la experiencia. Al soltar el móvil en el plano inclinado se toman los datos mediante un software llamado Logger Pro 3 que debe estar conectado con un equipo de LabQuest Mini, que será parte del sensor que recopila la información para que se muestre por pantalla en el programa. Luego se procede a insertar los gráficos para determinar las aceleraciones según sea el gráfico correspondiente, y utilizar dichos valores para determinar finalmente un valor para la gravedad.

1. - Materiales:

Se necesitan una serie de materiales para tomar las medidas de nuestro plano inclinado y determinar el. [pic 14]

• Instrumento n°1: LabQuest Mini Vernier. (Ver anexo)
• Instrumento n°2: Superficie de plano inclinado con rieles que incluya el móvil, con una sensibilidad de 1 mm.
• Instrumento n°3: Huincha de medir Sanlon, de 5 metros con una sensibilidad de 1 mm. (Ver anexo)

1. - Montaje

[pic 15][pic 16][pic 17][pic 18]

CO: Cateto opuesto

Hip: Hipotenusa

A: Punto donde se suelta el móvil

B: Punto final del desplazamiento del móvil

: Ángulo con respecto a la horizontal[pic 19]

1. – Método Experimental

Medir el CO con la huincha de medir Sanlon, y también la Hipotenusa con las mediciones incluidas en el plano inclinado para determinar el . Se debe conectar el LabQuest Mini al sensor incluido en nuestro plano inclinado, y también vía USB al computador, luego dentro del programa Logger Pro 3, se debe seleccionar la opción de tomar datos para tener una compilación de datos desde el momento en que se deja caer el móvil hasta que llega al punto B, luego se debe seleccionar el intervalo de tiempo que se estime conveniente para insertar gráficos en Excel, tanto de velocidad v/s tiempo como de aceleración v/s tiempo. Con la información de los gráficos calculamos nuestra aceleración con su medida de error, y de esta forma aplicar la fórmula para obtener la gravedad en base a la aceleración que posea una menor propagación de error, en este caso se utiliza la pendiente del gráfico de velocidad v/s tiempo, ya que posee una menor dispersión de los datos y permite obtener un valor más acertado de gravedad.[pic 20]

1. Resultados, análisis y discusión

Lo primero que debemos realizar es medir la hipotenusa de la plataforma y su cateto opuesto, con estos datos y utilizando la formula (2) obtenemos el 0,1355 y utilizando la formula (4) su respectivo error asociado para obtener finalmente:[pic 21]

0,1355±0,0005[pic 22]

Este dato lo ocuparemos para calcular la gravedad más adelante.

Como se mencionó anteriormente, utilizaremos los datos obtenidos a partir de la tabla velocidad vs tiempo que nos entregó el programa Logger Pro 3 para realizar nuestros resultados, análisis y discusión.

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