Núcleo Nueva Cúa

República Bolivariana de Venezuela

Universidad Pedagógica Experimental Libertador

Instituto Pedagógico de Miranda “José Manuel Siso Martínez”

Departamento de Ciencias Naturales y Matemáticas

Núcleo Nueva Cúa

SEMESTRE 2014 - I

ASIGNATURA: ALGEBRA LINEAL

PROF: JOSÉ N. LEIRA L.

CLASE N° 1

UNIDAD 0. (MÓDULO INSTRUCCIONAL DE NIVELACIÓN)

Números Naturales: El conjunto de los números naturales, conocido también como el conjunto de los números enteros positivos se construye a través de:

La Axiomática de Peano

Principio de inducción matemática y/o,

El principio de buena ordenación, que establece que todo conjunto no vacío de enteros positivos tiene siempre un elemento mínimo.

Axiomática de Peano:

Términos primitivos:

Un objeto que se denota con 1

Un conjunto IΝ ≠ . ( IN representa al conjunto de los números naturales).

Una función llamada “siguiente” o “sucesor”, que se denota con “ ”.

Axiomas:

El objeto 1 es un elemento de IN, es decir 1 IN.

La función “sucesor” es una aplicación inyectiva de IN en IN , es decir:

IN en IN es 1-1.

Este axioma establece que:

Todo elemento de IN tiene un sucesor y sólo uno.

El 1 no es un sucesor de ningún elemento de IN.

Si dos elementos de IN tienen el mismo sucesor, entonces son iguales.

Principio de Inducción Completa:

Si es un subconjunto de IN que contiene a 1, y al siguiente de siempre que contenga a , entonces = IN. Es decir, si IN es tal que satisface:

1

IN, entonces = IN.

Equivalentemente se puede escribir que:

Elaborado por: Prof. José Leira.

P(1) es V

P(h) es V P(s(h)) es V, entonces P(n) es V para todo n∈IN

Definiciones de Adición:

a+1=s(a), ∀a∈IN

a+s(a)=s(a+b), ∀a,b∈IN

Nota: a+s(b)=a+(b+1)=(a+b)+1=s(a+b)

Definiciones de Multiplicación:

a.1=a, ∀a∈IN

a.s(b)=a.b+a, ∀a,b∈IN

Nota: a.s(b)=a.(b+1)=a.b+a

Tal axiomática permite construir al conjunto IN. ¡Hágalo!

Ejercicios:

Para todo n∈IN, se define n! (n factorial) como: n!=n(n-1)(n-2)…3.2.1; 0!=1 y el número combinatorio: (■(m@n))=m!/n!(m-n)! , con n=0,1,2,3,… ,m. El teorema del binomio asegura que:

(a+b)^n=∑_(k=0)^n▒〖(n¦k) a^(n-k) b^k=〗 〖〖(■(n@0))a^n+(■(n@1)) a^(n-1) b+⋯+(■(n@n-1))ab〗^(n-1)+(■(n@n))b〗^n=

〖〖=a^n+na〗^(n-1) b+1/2 n(n-1)a〗^(n-2) b^2+⋯+nab^(n-1)+b^n

Verifique el teorema del binomio para: n=1 ,2 y 3.

Demostrar que: (■(n@k))+(■(n@k-1))=(■(n+1@k)) ; k=1,2,⋯,n.

Probar el teorema de binomio usando inducción matemática y la parte b).

Usar inducción matemática para demostrar la Desigualdad de Bernoulli, con n∈IN y ∝∈IR.

〖(1+∝)〗^n>1+n∝ ,∝>1 ,∝≠0 y n>1.

Elaborado por: Prof. José Leira.

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