Números reales.
Enviado por Shekil • 8 de Septiembre de 2016 • Ensayos • 2.094 Palabras (9 Páginas) • 523 Visitas
Números reales
El propósito de este ensayo es dar una introducción respecto a “números reales” así como los temas que se desglosan en el desarrollo del mismo.
El conjunto de “números reales “está formado por los números racionales (enteros positivos y negativos, cero y los números fraccionarios de la forma a/b siendo a y b números enteros) y el de los números irracionales (de infinitas cifras decimales, como por ejemplo √2= 1.4142… y π= 3.141659265… que no se pueden expresar como una relación entre enteros). El álgebra de los números complejos no juega aquí un papel y como no puede confusión siempre que se hable de un número, se entenderá que se trata de un número “real”.
Números naturales: son aquellos que nos sirven para contar y ordenar, este conjunto se denota con la letra N y se escribe así: N={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
Números enteros: se componen de los números naturales, sus negativos y el cero. Se denotan con una Z y se escriben así: Z= {…-3,-2,-1, 0, 1, 2,3…}
A su vez deben cumplir con ciertos criterios (afirmaciones) y para que dichos criterios sean válidos deben o bien estar contenidas dentro de una base de afirmaciones de partida (los denominados axiomas), o deben poder demostrarse a partir de los mismos. Por tanto los axiomas son los pilares de cualquier rama matemática, ya que a partir de ellos se puede deducir la veracidad de cualquier afirmación. El otro tipo de afirmaciones que se aceptan como verdaderas y su veracidad no puede ser demostrado a partir de otros axiomas. “Un axioma no se caracteriza por si resulta una afirmación trivial o intuitiva, siendo el axioma de elección un ejemplo de un axioma que no resulta trivial” (Calculo superior, Murray R. Spiegel).
Hay tres tipos de axiomas:
- Axiomas algebraicos: aquello que tratan las propiedades de sima, resta, multiplicación, y división.
- Axiomas de orden: establecen una forma de comparar cada par de números reales para así poder ordenarlos. Si el par de números reales que se comparan no son iguales, tendremos una relación de desigualdad.
- Axiomas topológicos: trata la noción de la continuidad.
Intervalos
- Intervalos finitos: sean a y b dos números tales que a<b. El conjunto de todos los números x comprendidos entre a y b recibe el nombre de intervalo abierto de a a b y se escribe a
a b a b[pic 5][pic 6]
Intervalo abierto: a
- Intervalos infinitos: sea a un número cualquiera. El conjunto de todos los números x tales que xa y x≥a.
En la definición del intervalo a
- Si x es un libro de un conjunto formado por diez volúmenes, el campo de variación de x es el conjunto formado por los números enteros 1, 2,3…10.
- Si x es un día del mes de julio, su campo de variación estará formado por el conjunto de números 1, 2, 3…,10.
- Si x es la cantidad de agua (en litros) que se puede sacar de un depósito lleno de diez litros, su campo de variación es el intervalo 0≤x≤10.
Valor absoluto
Llamamos valor absoluto de un número real a, escrito como lal, al mayor de los números a y –a. notemos que, por definición, el valor absoluto de a siempre será mayor o igual que cero y nunca negativo. Por la tricotomía de los números reales, si NO es cierto que a[pic 7]
lal= a si a≥0
-a si a<0
Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de a es la distancia que hay de a al cero; el valor absoluto de la diferencia de dos números reales es la distancia entre ellos. Nótese que, puesto que 0 es un número real:
- Por el axioma de la existencia del inverso aditivo, existe -0 número real tal que 0+(-0)=0.
- Por el axioma de conmutatividad de la suma, 0+(-0)=(-0)+0
- Por el axioma de la existencia del neutro aditivo, tenemos que (-0)+0=-0. Por lo tanto 0=0+ (-0)= (-0)+0=-0, es decir 0=-0.
Desigualdades
Una inecuación es una desigualdad entre dos o más expresiones matemáticas, en la que una o más incógnitas, y que solo se verifica para algunos valores de estas. Se distinguen básicamente en dos cosas: los miembros de una inecuación se separan por medio de los signos. La segunda diferencia es que en vez de una solución única, las inecuaciones pueden tener varias soluciones, infinidad de soluciones o ninguna solución. Ejemplo:
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