OPERADORES EN MECÁNICA CUÁNTICA. SEGUNDO POSTULADO

OPERADORES EN MECÁNICA CUÁNTICA. SEGUNDO POSTULADO

OPERADORES.

Un operador es una regla u operación matemática que aplicada a una función perteneciente a un espacio vectorial la transforma en otra del mismo espacio. Por ejemplo, un operador como  transforma una función  en su primera derivada  así: . Otro ejemplo  es el operador gradiente ([pic 7]), ya que al multiplicarlo por una función vectorial indica la dirección en la cual al campo de dicha función varia más rápidamente así: [pic 8]  = () ) .No hay que confundir esta operación con el gradiente de divergencia, ya que esta se denota con un producto punto escalar entre el operador nabla ( [pic 14]) y el campo.[pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12][pic 13]

 Si el operador transforma a la función  en una función   se denota de la siguiente manera: . En los operadores se identifican algunas operaciones como:[pic 15][pic 16][pic 17][pic 18]

• Suma de operadores. Está  definida por:

([pic 19]

De este modo, la suma de operadores hereda las propiedades de la suma de funciones: conmutativa y asociativa.

Ejemplo: ( .[pic 20]

Para la resta sucede lo mismo: [pic 21]

• Producto de operadores.  Se define por:

()=)[pic 22][pic 23][pic 24]

La notación  significa que primero aplicamos el operador  a la función  y así generar la nueva función, luego a esa nueva función se le aplica el operador  y entonces se genera otra función. En general, el producto de operadores  no  es conmutativo ya que al cambiar el orden de los operadores y aplicarlos en el orden antes mencionado las funciones generadas en cada paso serán diferentes. Ejemplo:[pic 25][pic 26][pic 27][pic 28]

()=) ≠[pic 29][pic 30][pic 31][pic 32]

Pero  este producto siempre es asociativo:

[pic 33]

• El conmutador de dos operadores lineales es un nuevo operador definido por la diferencia de producto de esos dos operadores :

[[pic 34]

Los operadores  y conmutan.[pic 35][pic 36]

Ejemplo.  Compruebe si conmutan los operadores  y. Calcule el conmutador [, ∂/∂x]. [pic 37][pic 38][pic 39]

Solución:

(  ) f(x) = x    [a][pic 40][pic 41][pic 42]

( ) f(x)= [b] [pic 43][pic 44]

[a] – [b] = (-1) ≠ 0 → [  ]= -1 ( no conmutan )[pic 45][pic 46][pic 47]

• Dos operadores son idénticos si cuando actúan sobre cualquier vector dan

el mismo resultado:   si y solo si [pic 48][pic 49]

• Valores propios. Para explicar esta operación, se debe suponer que el efecto que hace un operador cualquiera   a una función  produce una multiplicación de dicha función por una constante k. Se dice, que  es una función propia de  con un valor propio k, dicha función no debe ser 0, ya que aunque  pueda anularse en algunos puntos, no lo hará en todos ellos. Entonces:[pic 50][pic 51][pic 52][pic 53][pic 54]

[pic 55]

• El cuadrado de un operador está definido por . Ejemplo:[pic 56]

[pic 57]

SEGUNDO POSTULADO.

A toda magnitud física A medible sobre un sistema físico se le puede asociar un operador  Â, Â  ha de ser un observable. Un observable es una propiedad que puede ser determinada  (observada) por  algunas operaciones matemáticas.

Cada observable en Mecánica Clásica tiene asociado un operador en Mecánica Cuántica que es lineal y hermítico.

 OPERADORES LINEALES.

Un operador es lineal si conmuta con escalares y obedece a la ley distributiva:

|[pic 58][pic 59]

OPERADOR HERMITICO.

Un operador lineal  se dice que es hermítico si es igual a su adjunto o conjugado  . En los operadores hermíticos,  sus valores propios son reales. El operador conjugado se define por la condición:[pic 60][pic 61]

 [1][pic 62]

Las funciones establecidas (   )  que deben cumplir las condiciones de divergencia de las integrales, también deben cumplir ciertas condiciones de contorno que hace que las funciones se anulen en el infinito.[pic 63]

[pic 64]

Ejemplo: determinar el operador conjugado del operador derivación  .[pic 65]

Solución: Suponiendo  que las funciones  se anulan en el infinito, e integrando la ecuación [a], se obtiene:[pic 66]

 [pic 67]

Se encuentra que  , entonces concluimos que    , es decir el operador de  derivación no es autoconjugado. Pero si se toma como operador   el operador  , es fácil  ver que este operador es hermítico. En efecto, al integrar se tiene:[pic 68][pic 69][pic 70][pic 71]

[pic 72]

Y este operador ( cumple la condición y es hermítico.[pic 73]

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