Tarea Mecánica Cuántica

Mecánica        Cuántica        3        

Problema 1 hermitico o antihermitico esa es la cuestión

Un operador es hermitico o antihermitico si  

        𝜓 𝐴𝜙        = ± 𝐴𝜓 𝜙 , [pic 1]

a)¿Cómo son los autovalores de un operador hermitico, reales, imaginarios, complejos o no existen? Justifique su respuesta.

b)¿Cómo son los autovalores de un operador anti-hermitico, reales, imaginarios, complejos o no existen? Justifique su respuesta.

1. ¿Que propiedad cumplen los autovectores de dos autovalores distintos de un operador hermitico y de un operador antihermitico?
2. Demuestre que cualquier operador puede ser expresado como la suma de un operador hermitico y otro antihermitico Problema 2. La mentada transformación de similaridad

 Sea 𝑢𝑛        (𝑛 = 1,2,3, … ) una base ortonormal y 𝐴 un operador lineal que actua sobre la base de la siguiente forma [pic 2]

        𝐴 𝑢1 =        𝑢2 [pic 3]

                𝐴 𝑢0 =        𝑢1 

                                                                                                                                                                                𝐴 𝑢𝑛 = 0                (𝑛 = 3,4, … ) 

1. Determine la matriz que representa al operador 𝐴 en esta base. ¿es hermitica? [pic 4]
2. Calcule los autovalores y autovectores de la matriz A
3. Escriba los operadores de proyección asociados a los subespacios generados por los autovectores.
4. Usando la propiedad de los proyectores

𝑎 𝑃𝑎 = 1, expanda la base inicial en la bse de los autovectores. ¿qué propiedad cumple la matriz cambio de base? Problema 3.-  las medidas y su implicancia en los operadores.. [pic 5]

Un sistema cuántico puede existir en dos posibles estados 𝑎0        y 𝑎1 , que son autoestados normalizados del observable 𝐴 con autovalores 0 y 1. Un segundo observable 𝐵 es definido por  [pic 6][pic 7]

𝐵 𝑎0 = 7 𝑎0 − 24𝑖 𝑎1 , 

𝐵 𝑎1 = 24𝑖 𝑎0 − 7 𝑎1 , [pic 8]

a)Determine los autovalores de 𝐵.

b) El sistema esta en el estado 𝑎0 cuando

𝐵 es medido. INMEDIATAMENTE después 𝐴 es medido. Determine la probabilidad de que al medir 𝐴 de cómo resultado 0 [pic 9][pic 10][pic 11]

Problema 4. Molécula triatomica  

 [pic 12] 

 Considere un electrón en una molécula triatomica formada por tres átomos equidistantes. Usaremos 𝐴 ,        𝐵 , 𝐶 ,        para denotar los tres estados ortonormales del electrón, correspondientes respectivamente a los tres estados localizados alrededor de los nucleos de los atomos A, B, C. Ellos formaran un espacio de Hilbert tridimimensional. Cuando despreciamos la posibilidad de que el electrón salte de un nucleo a otro, su energía esta descrita por el Hamiltoniano 𝐻< cuyos autoestados son los tres estados 𝐴 ,        𝐵 , 𝐶 ,         con el mismo autovalor 𝐸<. Considere ahora la siguiente perturbacion [pic 13][pic 14]

        0        𝑎        0[pic 15][pic 16]

        𝑎        0        𝑎 

        0        𝑎        0

a)Tome 𝑎 como una constante real y positiva, calcule las energías y autoestados del nuevo hamiltoniano (𝐻 = 𝐻< + 𝑊). [pic 17]

b)El electrón en t=0 esta en el estado 𝐴 , ¿cuál es la localizacion del electrón en un tiempo t?. Existe algun valor de t para el cual el electron estara perfectamente localizado en A, B o C. (localizacion=probabilidad de encontrar)

d)Sea 𝐷 un operador cuya representacion matricial en terminos del espacio de Hilbert es diagonal (diag(d, 0, -d)). Si medimos 𝐷 en el tiempo t, que valores se pueden encontrar y con que probabilidades. [pic 18][pic 19]

Problema 5.-  Un sistema cuántico puede existir en en dos estados 𝜓1 y  𝜓0 , que son autoestados del Hamiltoniano con autovalores   𝐸1 y 𝐸0. Un observable 𝑍 tiene autovalores ±1 y autoestados 𝜓± =[pic 20]

1

√0 𝜓1 ± 𝜓0                                . Este observable es medido en los tiempos t=0, T, 2T, … .El estado normalizado del sistema en t=0, inmediatamente después de la primera medida, es 𝐶1 𝜓1 + 𝐶0 𝜓0 . Si 𝑃C denota la probabilidad que la medida al tiempo 𝑡 = 𝑛𝑇 de cómo resultado 𝑍 = 1 . Demuestre que 𝑃CF1 = 1 2 1 − 𝑐𝑜𝑠𝛼+ 𝑃C𝑐𝑜𝑠𝛼 donde KL = MNOℏMP y dedusca que 𝑃C =[pic 21][pic 22][pic 23][pic 24]

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