Operaciones con números naturales

MARCO TEÓRICO DISCIPLINAR.

Operaciones con números naturales

Los números naturales sirven para contar y operar. Este conjunto numérico (N) tiene como primer elemento el 0 y no tiene último elemento. Su cardinal es infinito, porque siempre admite un elemento mas y es un conjunto discreto, porque entre dos números naturales cualquiera hay una cantidad finita de números naturales.

Las operaciones posibles entre números naturales son la suma, la resta, la multiplicación, la división, la potenciación y la radicación. Las cuatro primeras se llaman operaciones fundamentales entre números naturales.

Una operación significa una acción y es tal, si cumple dos propiedades: es asociativa y reversible. Una operación es asociativa, en el sentido lógico del termino, cuando el pensamiento queda libre para realizar rodeos y un mismo resultado puede obtenerse por procedimientos diferentes y es reversible cuando es posible invertir la acción y regresar al estado inicial.

Piaget define una operación -desde el punta de vista psicológico-, como una acción interiorizada evocada en ausencia de la acción concreta asociativa y reversible. La reversibilidad caracteriza los procesos evolutivos. La operación es reversible, es decir, puede invertirse el sentido de la acción.

La suma

La suma o adición es la primera operación que surge asociada a la operación de contar, reunir, unir, agregar, adicionar, y buscar un total. Se define la suma de dos números a y b al número s de elementos del conjunto formado por todos los elementos de a y de b. La expresión simbólica es: a + b = s.

Los números a y b se llaman sumandos y el numero s es el total. La operación suma o adición es tal que, si se suma dos o mas números naturales se obtiene otro numero natural. Esta propiedad se llama ley interna, ley de cierre o ley de clausura ya que el resultado de la operación es un número perteneciente al mismo conjunto departida de la operación.

La adición puede plantearse como una aplicación de conjunto de pares ordenados de números naturales en el conjunto de números naturales, de tal forma que cada par ordenado de números naturales le corresponde un solo numero natural -que se suma-, por ello la suma es una función.

Los pares que tiene el mismo resultado se llaman pares equivalentes para una relación. Son pares equivalentes:

(3;5) – (2;6) – (7;1) – (6;2) – (5;3) – (4;4) – (8;0)

Es decir que distintos pares ordenados pueden tener el mismo resultado, una misma imagen. Al mismo tiempo, todos los pares ordenados de números naturales pueden ser sumados y el resultado es único por ello la suma es una función.

Las acciones de reunir, agrupar, añadir, agregar, untar, incorporar, sumar, adicionar, unir, aumentar, etc. son el inicio de la operación. Se debe tener en cuenta que los elementos a sumar deben ser homogéneos, es decir, deben pertenecer al mismo universo.

Propiedades

Propiedad conmutativa: el orden de los sumados no altera el resultado:

a+ b= s

Propiedad asociativa: si se reemplaza dos o mas sumandos por su suma efectuada la suma total no varía; es decir, que el orden en que se agrupan lo sumandos no altera el total:

(a + b) + c = a + (b + c)= s

Elemento neutro: es una operación es aquel que mantiene invariable el resultado. El elemento neutro en la suma es el 0

0 + a = a+ 0= a

Propiedad disociativa: si uno o varios sumandos son reemplazados por sus partes el total no varía. Por ejemplo:

14 + 8 = (10 + 4 )+ 8 = 22

En el conjunto de números naturales la suma define una función y cumple la ley de clausura: si consideramos pares ordenados de números naturales y vinculamos los componentes mediante la operación suma, de tal forma que a cada par ordenado de números naturales le asignamos como imagen su suma, obtenemos una relación funcional. La imagen es otro numero natural, es decir, que el resultado de la operación pertenece al mismo conjunto; la operación suma o adición es cerrada en el conjunto N (números naturales).

La resta o la sustracción

Restar de un numero m un numero s es encontrar un numero d tal que sumado a s de como resultado m en simbologia se expresa

m – s = d si d s=m

El numero m se llama minuendo, el s sustraendo, la operación es la resta o sustraccion y el numero d es la diferencia.

Propiedades

La resta es la operación inversa a la suma y, dada sus características no es asociativa ni conmutativa. En relacion con la ley de cierre es evidente que no siempre cuando restamos dos numeros naturales obtenemos un numero natural; por ejemplo, 9 - 15, no tiene resultado natural. La resta es posible en el conjunto de los números naturales cuando el minuendo es mayor o igual al sustraendo. Esta es la condición de posibilidad de la resta en los números naturales, simbólicamente se indica: m...s.

El número 0 en el sustraendo es el operador 0 para la sustracción: m – 0 = m.

las acciones de quitar, disminuir, sustraer, sacar, buscar el complemento, comparar radicales, diferenciar son el inicio para elaborar el concepto de la operación.

La multiplicación. El producto

Se llama producto de un numero natural s por otro t, siendo t … 1, al numero natural p que se obtiene sumando t sumandos iguales a s.

s x t= p si s...s...s...s... s (s se repite t veces)

4x3= 12 pues 4 + 4 + 4 =12

El numero s se llama multiplicando, el t multiplicador y p -el resultado- es el producto.

Los numeros que intervienen en una multiplicación se llaman factores.

Si multiplicamos dos numeros naturales se obtiene otro numero natural.la multiplicacio cumple la ley de cierre (ley de clausura) en el conjunto de los numeros naturales, al igual que la suma. Si consideramos un par ordenado de numeros naturales y le aplicamos la operación multiplicacion, a ese par ordenado le corresponde su producto -que es también un numero natural-; el resultado es único, por lo tanto, la multiplicación es una función.

Los pares ordenados cuyo producto es el mismo se llama pares equivalentes. Por ejemplo, son equivalentes los siguientes pares:

7;4 – 14;2 – 4;7 – 28;1 - 1;28 – 2;14: la imagen de estos pares equivalentes es su producto, es decir, 28. Normalmente se define la multiplicación como una suma reiterada; pero esta opeación es mas que ello. La multiplicación vincula dos cantidades de dos referenciales diferentes, que casi siempre son heterogéneos.

Propiedades

Propiedad conmutativa: el orden de los factores no altera el producto.

s x t = t x s = p

8 x 3 = 3 x 8 = 24

Propiedad asociativa: en una multiplicación de mas de dos factores, el orden en que ésto se asocian no varía el resultado.

(a x b) x c = a x ( b x c) = p

(3 x 8 ) x 2= 3 x (8 x 2)

24 x 2= 3 x 16

48 = 48

Propiedad disociativa: si varios factore están representados por su producto, éste pude sustituirse por sus factores.

8 x 6=48

4 x 2 x 3 x 2 = 48

Elemento neutro: es el 1: s x 1 = 1 x s = s

Elemento absorbente: es el 0, ya que al multiplicar cualquier número por 0 se obtiene 0.

Propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma: el producto de una suma por un número es igual a la suma de los productos que se obtienen multiplicando cada sumando por ese numero.

(a + b + c) x n =a x n= b x n + c x n

La distributividad de la multiplicación respecto de la suma se cumple tanto hacia la derecha como hacia la izquierda.

(8 + 7 ) x 3= 8 x 3 + 7 x 3

15 x 3 = 24 + 21

45 = 45

2 x (9 + 5) = 2 x 9 + x 5

2 x 14 = 18 + 10

28 = 28

Propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la resta: el producto de una diferencia por un numero es igual al producto del minuendo menos el producto del sustraendo por ese número.

(m – s) x t = m x t – s x t

La propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la resta se cumple tanto hacia la derecha como hacia la izquierda.

(12 – 6) x 2 = 12 x 2 – 6 x 2

6 x 2 = 24 – 12

12 = 12

3 x (9 – 5) = 3 x 9 – 3 x 5

3 x 4 = 27 – 15

12 = 12

Múltiplo de un número: el resultado de una multiplicación es múltiplo de sus factores. Si consideramos, por ejemplo, 9 x 4 = 36, el número 36 es múltiplo de 9 y de 4; 9 y 4 son divisores de 36.

El concepto de la multiplicación se elabora a partir de la idea de repetir una misma cantidad, de agrupar colecciones equivalentes en cantidad, de agregar una cantidad constante de elementos a una colección.

La división. El cociente

Dividir un número natural D por otro d distinto de 0, es encontrar un número c tal que multiplicando por d dé por resultado D.

D : d = c ---- c x d = D

En este caso la división se llama exacta, el número D es el dividendo, el número d es divisor y c es el cociente. En la división exacta el dividendo es múltiplo del divisor.

Si el dividendo se multiplica o se divide por un número, el cociente queda multiplicado o dividido por dicho número.

Si el divisor se multiplica

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