Origen De Numeros Complejos

Número complejo

Ilustración del plano complejo. Los números reales se encuentran en el eje de coordenadas horizontal y los imaginarios en el eje vertical.

Los números complejos son una extensión de los números reales y forman el mínimocuerpo algebraicamente cerrado que los contiene. El conjunto de los números complejos se designa como , siendo el conjunto de los reales se cumple que . Los números complejos incluyen todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales. Todonúmero complejo puede representarse como la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i), o enforma polar.

Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra, análisis, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, ecuaciones diferenciales, aerodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia. Además los números complejos se utilizan por doquier en matemáticas, en muchos campos de lafísica (notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en laelectrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.

En matemáticas, estos números constituyen un cuerpo y, en general, se consideran como puntos del plano: el plano complejo. Una propiedad importante que caracteriza a los números complejos es el teorema fundamental del álgebra — pero que se demuestra aún en un curso de variable compleja —, que afirma que cualquier ecuación algebraica de grado ntiene exactamente n soluciones complejas. Contienen a los números reales y los imaginarios puros y constituyen una de las construcciones teóricas más importantes de la inteligencia humana. Los análogos del cálculo diferencial e integral con números complejos reciben el nombre de variable compleja o análisis complejo.1

Índice

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• 1 Origen

• 2 Definición

o 2.1 Cuerpo de los números complejos

o 2.2 Unidad imaginaria

• 3 Valor absoluto o módulo, argumento y conjugado

o 3.1 Valor absoluto o módulo de un número complejo

o 3.2 Argumento

o 3.3 Conjugado de un número complejo

• 4 Representaciones

o 4.1 Representación binómica

o 4.2 Representación polar

o 4.3 Operaciones en forma polar

• 5 Plano de los números complejos o Diagrama de Argand

• 6 Geometría y operaciones con complejos

• 7 Esbozo histórico

• 8 Aplicaciones

o 8.1 En matemáticas

 8.1.1 Soluciones de ecuaciones polinómicas

 8.1.2 Variable compleja o análisis complejo

 8.1.3 Ecuaciones diferenciales

 8.1.4 Fractales

o 8.2 En física

• 9 Generalizaciones

• 10 Véase también

• 11 Referencias

o 11.1 Bibliografía

o 11.2 Enlaces externos

Origen[editar • editar fuente]

El primero en usar los números complejos fue el matemático italiano Girolamo Cardano (1501–1576) quien los usó en la fórmula para resolver las ecuaciones cúbicas. El término “número complejo” fue introducido por el gran matemático alemán Carl Friedrich Gauss(1777–1855) cuyo trabajo fue de importancia básica en álgebra, teoría de los números, ecuaciones diferenciales, geometría diferencial,geometría no euclídea, análisis complejo, análisis numérico y mecánica teórica, también abrió el camino para el uso general y sistemático de los números complejos.

Definición[editar • editar fuente]

Definiremos cada complejo z como un par ordenado de números reales (a, b) ó (Re(z), Im(z)), en el que se definen las siguientes operaciones:

• Suma

• Producto por escalar

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