Definición y origen de los números complejos

PORTAFOLIO DE EVIDENCIAS

Unidad uno: números complejos.  

1. definición y origen de los números complejos.
2. Operaciones fundamentales de los números complejos.
3. Potencias de i, módulo o valor absoluto de un número complejo.
4. Forma polar y exponencial de un número complejo
5. Teorema de Moivre, potencias y extracción de raíces de un número complejo.
6. Ecuaciones polinómicas.

Definición y origen de los números complejos:

En el siglo XVI Rafael Bombelli fue uno de los primeros en admitir la utilidad de que los números negativos tuviesen raíces cuadradas. Fue el primero en escribir las sumas, restas, y productos de los complejos en 1977 el matemático suizo leonardo Euler simbolizó la raíz cuadrada de -1 con la letra i qué significa imaginario introdujo la forma dinámica y al cuadrado que es igual a -1 con el define los imaginarios a los matemáticos.

Gauss en su tesis doctoral de 1979 demostró su famoso teorema fundamental de álgebra: todo polinomio con coeficiente complejo tiene una raíz compleja y estableció en 1981 la representación geométrica de los complejos.

a+bi; donde a y b son números reales y i es la unidad imaginaria se define mediante la siguiente relación [pic 1]

para sumar, restar o multiplicar números complejos asume que la letra y es una variable y se aplican los mismos procedimientos que se utilizan para sumar o restar.

[pic 2]

 - 5 + 4i – 8 - 3i = -13+i [pic 3]

  [pic 4]

Sí z es igual a 1 – 3i, y w es igual a -4 + 5i calcular las siguientes operaciones:

1. z+w

[pic 5]

1. z-w

[pic 6]

1. z2

[pic 7]

División de números complejos.

El conjugado del denominador cambio de signo, siempre se multiplicara por el conjunto del denominador.

[pic 8]

Sean los complejos z=a+bi y w=x+yi, la división es z/w = z/wy se define con la siguiente expresión: a+bi/x+yi

[pic 9]

1. 6, b) 4, x) 3, y)-5

[pic 10]

Ejercicio

[pic 11]

Potencias de i:

X2+1=0

X2=-1

I2=-1  

a0 = 1

a1

am*an = am+n

i0 =1

i1 =i

i2 =-1

i3 = (i2) (i) = (-1) (i) = -i

i4 = (i2) (i2) = (-1) (-1) =1

i5 = (i2) (i2) (i1) = (-1) (-1) (i) = i

i6 = (i2) (i2) (i2) =(-1) (-1) (-1) =         -1

i7 = (i6) (i1) = (-1) (i) = -i

i8 = (i4) (i4) = (1) (1) = 1

la regla se repite cíclicamente cada 4 veces quedando asi

1, i, -1, -i

[pic 12]

 Potencias con exponentes positivos

[pic 13]

[pic 14]

[pic 15]

Potencias con exponentes negativos

[pic 16]

[pic 17]

[pic 18]

Binomio de newton

[pic 19]

[pic 20]

Forma polar y exponencial de un numero complejo

Se puede utilizar la magnitud del valor absoluto de z y el argumento teta    de un numero complejo para expresarlos en formas mas convenientes para ciertas operaciones se puede deducir que si z=(a+bi) entonces a=(r cos  ) y b=(r sin  )se entiende la siguiente definición al respecto.[pic 21][pic 22][pic 23]

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