Parábola con ecuación
Enviado por marco carlo • 6 de Diciembre de 2023 • Tareas • 685 Palabras (3 Páginas) • 21 Visitas
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La ecuación es una de las dos ecuaciones mas simples de la parábola, también llamada forma canónica. Las formas en que puede abrir la parábola de la ecuación en cuestión se da en las siguientes referencias:[pic 2]
- De acuerdo con el libro de Lehman, Geometría analítica (1989) página 152 La ecuación de una parábola de vértice en el origen y eje el eje X es , en donde el foco es el punto y la ecuación de la directriz es . Si , la parábola abre hacia la derecha, si , la parábola abre hacia la izquierda. (TEOREMA 1, primer párrafo)[pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7]
- De acuerdo libro de Fuller y Tarwater Geometría analítica séptima edición (1995) página 116, la ecuación de una parábola con vértice en el origen y foco en es . La parábola se abre hacia la derecha si y se abre hacia la izquierda si (TEOREMA 3.1, primer y segundo párrafo)[pic 8][pic 9][pic 10][pic 11]
Debido a que la curva de la parábola con la ecuación en cuestión pasa por el origen y no tiene ninguna otra intersección con ejes coordenados, la única simetría que posee es con respecto al eje X. (Lehman, Geometría analítica, página 151). También Fuller y Tarwater nos dicen que la parábola es simétrica respecto a su eje, en la página 114.
Para p>0
[pic 12]
Para p>0
[pic 13]
[pic 14]
Fuller y Tarwater nos dan en su libro esta información, esto en la página 114, mencionan que la cuerda trazada por el foco y que es perpendicular al eje de la parábola recibe el nombre de lado recto, y que la longitud de este se puede determinar mediante las coordenadas de sus extremos. Se debe sustituir a o p (según consultemos a Lehman o a Fuller y Tarwater) en la ecuación de la parábola analizada
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Por lo anterior, encontramos que las coordenadas buscadas son , sin embargo se nos solicitan en términos de x,y,p asi que las coordenadas son:[pic 16]
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En el artículo 57, página 161 del libro de Lehman, Geometría analítica (1989) estudiamos el tema de la ecuación de la tangente de una parábola, en el se menciona el teorema 4
La tangente de la parábola en cualquier punto de la curva tiene por ecuación [pic 19][pic 20]
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Resta aplicar la ecuación del teorema 4 para los dos puntos de los extremos de la parábola.
[pic 22]
[pic 23] | Sustituyendo |
[pic 24] | Distributiva del lado derecho de la igualdad |
[pic 25] | Dividimos entre 2p en ambos lados de la igualdad |
[pic 26] | Igualamos a cero para encontrar la ecuación de la tangente de uno de los puntos extremos del lado recto |
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