Ecuaciones de la Parábola

Parábola: Sea DD una recta dada del plano y F un punto del plano que no está en la recta dada. Se define la parábola como el lugar geométrico de los puntos P del plano cuya distancia al punto F es igual a la distancia a larecta DD.

ii. La recta dada DD se llama DIRECTRIZ y el punto F se llama FOCO (fig. 6.1.1.) Frecuentemente se hace referencia a la parábola de directriz DD y de foco F y se denota por PDD-F.

Esto es:

PDD-F={P:PFF=PD}={P:PF = 1}

PD

fig. 6.1.1.

Observaciones:

i. Al trazar por F la perpendicular a la directriz. Se llamará : la distancia del foco a la directriz.

ii. Sea V el punto medio del segmento . Como , entonces el punto V pertenece a la parábola. V es llamado VERTICE de la parábola.

El lugar correspondiente a la parábola es simétrico respecto a la recta . En efecto, si P’ es el simétrico de P respecto a la recta , entonces PP’’ = P’’P’. Por lo tanto, el triángulo PP’’F es congruente al triángulo P’P’’F. De donde P’F = PF y como P’D’ = PD, entonces, , lo cual nos muestra que P’ e PDD-F.

6.1.1. Ecuaciones Analíticas de la Parábola

En esta sección sólo se considerarán parábolas con el vértice V en el origen de coordenadas y cuyos focos estarán localizados sobre los ejes x ó y (fig. 6.1.2.)

Sea P(x, y) un punto de la parábola PDD-F (fig 6.1.2 b)entonces, .

Pero, y

Luego,

Elevando al cuadrado ambos miembros de la última igualdad, y desarrollando los binomios, se obtiene: , y simplificando queda finalmente,

(1)

Recíprocamente, sea P(x, y) un punto del plano, cuyas coordenadas (x, y) satisfacen (1) y pruebe que P e PDD-F.

Por hipótesis, (2)

Se debe probar que

De esta forma se ha demostrado la parte i del siguiente teorema.

TEOREMA 1 (Ecuaciones de la Parábola)

i.

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