Ecuacion De La Parabola

Ecuacion de la Parábola con vertice fuera en el origen

Consideramos ahora una parábola cuyo eje es paralelo a, pero no en coincidencia con un eje coordenado.

En la Fig.

C, el vértice está en (h, k) y el foco está en (h+a, k). Introducimos otro par de ejes por una traslación hasta

el punto

( h, k). Puesto que la distancia del vértice al foco es a, tenemos de inmediato la ecuación

y'2 = 4ax'

Para escribir la ecuación de la parábola respecto a los ejes originales, aplicamos las fórmulas de traslación,

y obtenemos así

( y -k)2 = 4a (x -h)

En esta ecuación observamos, y también en la figura, que cuando a > 0, el factor x -h del segundo

miembro debe ser mayor que o igual a cero. Por eso, la parábola abre hacía la derecha.

Para a < 0, el factor x -h debe ser menor o igual a cero, y por eso la parábola abriría hacia la izquierda.

El eje de la parábola está sobre la recta y -k = 0. La longitud del

latus rectum es igual al valor absoluto de 4a, y entonces fácilmente se pueden localizar los puntos extremos.

Se puede hacer una discusión semejante si el eje de una parábola es paralelo al eje y. Consecuentemente,

establecemos la siguiente.

La ecuación de una parábola con vértice en (h,k) y foco en (h +a,k) es

(y - k)2 = 4ª (x - h)

La parábola abre hacia la derecha si a > 0 y abre hacia la izquierda si a < 0.

La ecuación de una parábola con vértice en (h,k) y foco en (h, k + a) es

(x - h)2 = 4ª (y - k)

La parábola abre hacia arriba si a > 0 y abre hacia abajo si a <0.

Cada una de las Ecuaciones (2.1) y (2.2) está en la forma estándar. Cuando h = 0 y k = 0,

se reducen a las ecuaciones más sencillas de la sección precedente. Si la ecuación de una parábola

está en la forma estándar, rápidamente se puede trazarsu gráfica. El vértice y los extremos del

latus rectum son suficientes para un trazo burdo. Marcar unos cuantos puntos adicionales ayudaría,

por supuesto, a mejorar la precisión.Notamos Que cada una de las Ecuaciones (2.1) y (2.2) es cuadrática

en una variable y lineal en la otra variable. Este hecho se puede expresar más vívidamente si

efectuamos la elevación al cuadrado y trasponemos los términos para obtener las formas generales

x2 + Dx +Ey +F = 0

y2 + Dx +Ey +F = 0

Inversamente, una ecuación de la forma (2.3) o (2.4) se puede presentar en una forma estándar,

siempre y cuando E ¹ 0 en (2.3) y D ¹ 0 en (2.4).

2.3.1 EJEMPLOS

EJEMPLO 1. Trazar la gráfica de la ecuación

y2 + 8x - 6y + 25 = 0

Solución. La ecuación representa

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